格林函数法 (3-2)

∂u(r)

u(r₀)＝∭G(r，r₀)f(r)dV＋∬[G(r，r₀) ── ↓

Ω Γ ∂n

∂G(r，r₀)

– u(r) ───── ]dS

∂n

（7）

上式表示位势在Ω 内某点的值可以表示为两个积分的和：一个是源项在 Ω 内的体积分，另一个是u和它的法向偏导数 ∂u/∂n 沿 Γ 的面积分，它们都与格林函数有关。根据点源场的相关性质，我们可以的得到格林函数满足 G(r – r₀)＝G(r₀ – r) ，这种性质被称为对易性。根据这一性质，上式(7)可以改写为：

∂u(r₀)

u(r)＝∭G(r，r₀)f(r₀)dV₀＋∬[G(r，r₀) ── ↓

Ω Γ ∂n₀

∂G(r，r₀)

– u(r) ───── ]dS

∂n₀

（8）

这就是泊松方程的基本积分公式。从以上过程可以清晰的看到，通过格林公式(3)，能够巧妙地构建出泊松方程的解u(r) 与对应格林函数 G(r – r₀) 之间的关系。

现在我们给泊松方程添加上第一类边值条件，来看看为什么这样就可以求解了呢？第一类边值条件如下：

u(r)|Γ＝φ(r) （9）

式（8）右侧第二项面积分，可根据边值条件改换为φ(r₀) ，得到式(10)：

∂u(r₀)

u(r)＝∭G(r，r₀)f(r₀)dV₀＋∬[G(r，r₀) ── ↓

Ω Γ ∂n

∂G(r，r₀)

– φ(r₀) ───── ]dS₀

∂n₀

（10）

仔细观察上式，式中的f(r₀) 、 φ(r₀) 都是已知的，若 G(r – r₀) 可以求出，那么方程右侧的第一项和第二项就可以解出，对与第二项的关于u的偏导项，根据条件无法确定，但是我们注意， G(r – r₀) 是我们用式(5)假设的函数，同样没有定解条件，若我们此时假设 G(r – r₀) 在 曲面上为零，那么一方面式(5)封闭了，另一方面式(10)也可积出，问题迎刃而解了。这真是太美妙了，一个复杂的偏微分方程竟然用下面这个简单的式子就可以计算出它的解析解了。

∂u(r，r₀)

u(r)＝∭G(r，r₀)f(r₀)dV₀ – ∬φ(r₀) ─── dS₀

Ω Γ ∂n₀

（11）

整理一下可得格林函数是下式(12)的解。

∇²G＝–δ(r – r₀)

{ （12）

G|Γ＝0

对于第二类和第三类边值条件的泊松方程问题，采用相类似的方法亦可以得到其对应的积分方程，受限于篇幅，此处不再详细论述，感兴趣的读者可以参考顾樵先生的著作《数学物理方法》。

3 结论

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