格林函数法 (3-1)

众所周知，偏微分方程以其高维度、复杂性，一直令众多科研人员十分的烦恼。近代随着计算机的快速发展，众多诸如差分法、有限元法等数值方法的涌现使得求解复杂的微分方程变得简单。但是在计算机未得到的普及之前，聪明的数学家、物理学家们是如何求解偏微分方程的呢？本文就将基于天才数学家乔治·格林提出的格林公式介绍偏微分方程的一种解析求法——格林函数法。

1 引言

格林函数法是一种求解数学物理方程的方法，其基本思想是利用点源产生的场（即格林函数）和叠加原理来求解任意源的场。格林函数又称为源函数或影响函数，是英国人乔治·格林于1828年引入的。这种方法在物理学中尤其重要，因为物理现象通常可以用场论来描述，而场论的基础就是数学物理方程。格林函数法既可以求解齐次方程也可以求解非齐次方程，既可以求解无界区域的定解问题也可以计算有界区域的定解问题。具体步骤如下：首先，保持偏微分方程的形式不变，用一个δ函数代替偏微分方程的非齐次项，用格林函数代替原来的场；然后，根据边界条件和初始条件的不同，选用行波法、积分变换法或者分离变量法等方法求解格林函数；最后，利用格林第二公式，结合计算得到的格林函数，即可得到原偏微分方程的解。

2 格林公式及其应用

2.1 格林公式

本节中不加证明的引入第一格林公式，如下式(1)所示，式中u、v为任意函数，交换其顺序可得到式(2)：

∂υ

∭(u∇²υ)dV＝∬u ── dS – ∭(∇u · ∇υ)dV

Ω Γ ∂n Ω

(1)

∂υ

∭(υ∇²u)dV＝∬υ ── dS – ∭(∇υ · ∇u)dV

Ω Γ ∂n Ω

(2)

将式(1)和式(2)相减并整理得：

∂υ ∂u

∭(u∇²υ – υ∇²u)dV＝∬(u ── – ──)dS

Ω Γ ∂n ∂n

(3)

此式即为第二格林公式，简称格林公式。它清晰的显示了函数u、v在封闭曲面上的面积分与在区域中的体积分之间的关系。下面我们就应用该公式给出泊松方程的格林函数解法。

2.2 格林公式的应用-格林函数法

首先利用格林公式，针对泊松方程简要介绍格林函数法。我们知道泊松方程具有如下(4)的形式：

∇²u(r)＝–f(r) （4）

为了解决此问题我们引入函数G(r – r₀) ，该函数即格林函数，表达式如下：

∇²G(r – r₀)＝–δ(r – r₀) （5）

式中r₀ 为区域 Ω 内任意一点，根据δ函数的定义可知，G(r – r₀) 为在 r₀ 处的点源所产生的场。

利用格林公式(3)，并将v(r)修改为格林函数 G(r – r₀)，则可以推导得到：

∂G ∂u

∬(u ── – G ──)dS＝∭(u∇²G – G∇²u)dV

Γ ∂n ∂n Ω

＝∭(–uδ(r – r₀) – G∇²u)dV

Ω

＝–u(r₀) – ∭G∇²udV

Ω

＝–u(r₀)＋∭Gf(r)dV

Ω

（6）

整理得：

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。