阿罗定理

阿罗不可能定理确实会在无限模型下不成立（1972年的结果）：阿罗定理、多个代理人和隐形独裁者*

Alan P.Kirman和Dieter Sondermann

布鲁塞尔自由大学和鲁汶天主教大学运筹学和计量经济学中心

1.导言

阿罗[1]的不可能性定理表明，在有限个人的情况下，满足一定公理的社会福利函数隐含着一个独裁者的存在。在最近的一篇论文Fishburn[4]中提出，当系统中个体的数量是无穷大时，这个问题就消失了。

我们证明，给定一个满足Arrow公理的社会福利函数，我们可以刻画某些“独裁”的个体集合。这种描述的直接结果是，在有限个体数目的情况下，个体独裁者的存在，即，它给出了阿罗定理的证明。然而，更重要的是，同样的特征表明，有效的专政也在无限级中持续存在。事实上，我们可以表明，如果一个人选择总人数中的某个正比例，无论这个比例有多小，总有一个群体在总人数中所占的比例较小，其偏好决定了社会秩序。或者，我们可以把结果说成，虽然总有一个“独裁者”，但在无限的情况下，他可能是“隐形的”。

我们的证明并不局限于有限个选择的情况。我们只要求有三个以上，但在选择的数目有限的特殊情况下，我们可以对“看不见的独裁者”作出解释。

With this notation Arrow’s axioms can be stated as follows (see Arrow [1]and Fishburn [4])：

(A1) (Alternatives.)│X│≥ 3.

(A2) (Social Welfare Function.) σ is a function on F into 𝓢

(A3) (Unanimity.) For all α，b ∈ X & f∈F，αf(V)b ⇒ ασ(f)b.

(A4) (Independence.)For all α，b ∈X & f，g∈F，f＝g on {α，b} ⇒ σ(f)＝σ(g) on {α，b}.

(A5) (No Dictatorship.) There is no υ₀∈V such that，for all α，b∈X & f∈F，αf(υ₀)b ⇒ ασ(f)b.

Arrow proved in [1]：

ARROW’S THEOREM. If V is finite，then(A1)-(A5)αre inconsistent.

Fishburn proved in [4]：

FISHBURN’S THEOREM. If V is infinite，then (A1) through (A5) αre consistent.

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