公理集合论

首先，公理集合论的自然数工作方式不是唯一的，任何满足皮亚诺公理系统的模型都可以当做自然数，甚至你可以（像克罗内克那样）直接假设自然数集的存在。

不过皮亚诺公理对于自然数的刻画更多的是从序数的角度出发，刻画了自然数的顺序结构。当然，在有穷范畴内，基数和序数是没有区别的，但从自然数的直观概念而言，皮亚诺公理并没有从基数的角度去把握自然数。

历史上从基数角度（和题主的想法有一点类似）把握自然数的方案主要是弗雷格和罗素利用等势集合的等价类定义自然数的方案，比如把“4”定义为所有有四个元素的集合的等价类。

但这一方案的问题是，“所有等势集合”不是一个良定义的类，它涉及到“所有集合”这种本身就不再属于集合的概念。我们对于这样的概念的把握是不够清楚的。罗素对此的改进方案是，利用类型论的办法，设定一类初始的非集合元素称为“个体”（也称为类型0），而仅仅包含个体作为元素的集合是类型1的集合，在这一类型上，我们可以定义“所有（类型1的）等势集合”这样的概念。

类型论方法的问题，一是需要非集合的元素，而且为了保证能够定义自然数，罗素和怀特海引入“无穷公理”保证至少有可数无穷个个体，这一假设是不显然的。二是在类型论中不同的集合处于不同的层级上，因此我们就有了类型1的自然数，类型2的自然数等等不同种类的自然数，而这对于自然数定义是冗余的。

相应地，公理集合论的自然数构造的好处是，所有的自然数都能从初始集合（空集）构造出来，并且自然数是唯一的。

当然，如果我们要谈论作为整体的自然数集N，我们在ZF中依然需要无穷公理，但没有无穷公理，我们也可以定义任意大的有穷自然数并得出有穷主义数学的许多结果，而类型论中无穷公理的引入则是定义自然数的必须，在这一点上公理集合论的处理是更好的。

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