自然数体系的构造性原理（一） (5-3)

这里需要解释一下:元序列在数系统层面上，是数位上位值态的一维展开图，所以数位上的位值样数，就是元序列中的符号样数。元序列中有多少种符号，数位上就能表达多少样的位值态。上文已充分阐释，数系统中空位号必不可少，所以数位上的位值样数是包括空位号在内的，所以十进制数数位上表示基数的值态实际上只有1～9九种，0、1二进制数的数位上，能表示基数的只有“1”。

2.1.5、元序列的每个符号都指代了一个唯一的集合及基数

自然数是通过一个一个表达位上的符号系统表示“基”（共几）或“序”（第几）信息的，虽然自然数个体的符号系统分为单符号态和多符号组合态的两类，但是这两类自然数在自然数序列上享有的占位权是同等的，譬如“5”和“5555”，这两个自然数的符号个数虽然不同，但是它们在自然数序列中的地位是平行的，都只享有一个表达位。因此，我们在思考自然数序列中的自然数个体时，要以表达位、表达系统为单位，要把单符号的自然数和多符号组合态的自然数都视为一个自然数系统。

自然数系统既能作基数用途表示“共几”，又能作序数用途表示“第几”，虽然在具体的应用语境中，任一自然数个体表示的信息内涵只能指向“基”或“序”之一，并不能同指，但是如果我们只是讨论自然数的一般性质，不涉及自然数的具体用途，也不妨把自然数的基数和自然数的序数合在一起统称为”自然数的基序”，这样在阐述自然数的一般性质时会方便很多。

自然数符号系统表示的基数内涵是如何产生的呢？传统上认为，是人们在生活实践中通过对实物个数与数符号及其读音的约定，逐渐创造了自然数系列。譬如用两只鸭子或两根手指头与数符号”2”及其读音”èr“作对应约定，用人的五根手指与符号5及其读音“w ǔ”作对应约定等。

先物结构主义代表夏皮罗认为:“结构先于对象存在”，“位置即对象”，“自然数的本质在于它是自然数结构中的位置”[4]，这几句话在本文这里可这么贯穿解释:“夏皮罗认为自然数序列的结构先于自然数个体存在；每个自然数系统表示的基数内涵，都来自这个自然数系统在自然数序列中的位置”。这里先搁置夏皮罗理论的缺陷不谈，仅就“结构先于对象存在”、“位置即对象”这两个命题的直觉所指来看，大体是符合实践事实的。

实践表明，自然数序列中的所有自然数个体所表征的基数内涵，都可以通过这个自然数系统与元序列起点号之间的空间位置关系推导得出。

例如在元序列〈○，马，鸡，狗，牛〉中，（对应的自然场景描述:某人走在一条0.5米宽的农村小道上，走到○位置时停了下来，他抬头看到前方依次伫立着一匹马、一只鸡、一只狗、一头牛），马相对起点号“○”的位置而言，显然是第“马”个元素物；鸡是第“鸡”个元素物；狗是第“狗”个元素；牛是第“牛”个元素。我们观察自然界中的一排树、一排房屋可知，在一维的符号序列中，由于每个符号系统只能占据一个排列位，所以自起点号到达序列中的某个序数符号系统的位置，期间遍历、累数过的符号系统的总个数是固定不变的，且这个总数能被“唯一的集合及其基数”指代。譬如在以上序列中，我们从“○”点到达“狗”点，历经、累数过的符号系统的个数，可以被这些元素构成的一个唯一的集合｛马，鸡，狗｝及其基数所指代。（解释:“唯一性”体现在这个集合的构成元素种类及其组合顺序上）。

显然，以上提出的用集合中最后那个元素（元序列符号）指代整个集合及其基数的方法论，逻辑上是严密的、可行的，因此我们认为:可以用“狗”指代集合｛马，鸡，狗）及其基数；可以用序符号“鸡”指代集合｛马，鸡｝及其基数；可以用序号“牛”指代集合｛马，鸡，狗，牛｝及其基数；可以用“马”指代集合｛马｝及其基数。

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