自然数体系的构造性原理（二） (4-1)

2.2、自然数系统是由“组合码”和“元序列码”两部分合成的

自然数符号体系并不是无逻辑的随机组合，而是一套无重、无遗漏的，有规律的组合编码体系。若不明确指出自然数符号体系的组合规律，就会出现本文开头所说的“8，9的后继是“10”还是“01”说不清的情况（实际这两种组合都可以[10]）。

从符号组合角度看，任一自然数符号系统，都可视为是“组合码”和“元序列码”两部分的合成。所谓“元序列码”，就是元序列中的符号，元序列码只能固定在末位，除了末位上的元序列码，其它各数位上的符号合在一起统称为“组合码”(单符号态的自然数，组合码是元序列中的空位号，例如十进制数3的组合形式是“03”），以十进制自然数“5692”为例，它是由组合码“569”和右侧末位上的元序列码“2”两部分组合而成。以二进制数“101”为例，这个数是由组合码“10”和元序列码“1”组合而成。

组合码不像元序列码是现成的、固定的，是在构造过程中即时生成的。构造初始，以元序列码作为组合码，元序列码作为组合码逐个用完后，会在已构造出的自然数序列中生成一组组合码序列，然后再用组合码序列中组合码依次、继续与元序列码组合，接着继续造数。

（提示:为了直观观察组合码的组合构造作用，下文开始用黑体对组合码加黑，元序列码不作任何标记。）

三、自然数符号体系的构造性原理

交代完了元序列概念以及派生的组合码、元序列码等概念，就可以通过这些概念直观地讲解自然数及其序列构造的符号组合规律了。

自然数及其序列的构造方法、步骤：先用元序列中排首位的符号作为组合码和元序列中的所有符号依次左右组合并按序排列，然后再用元序列中的第二个符号作为组合码与元序列中的所有符号依次组合并依次承接排列，如此按顺序递进操作，直到元序列中的所有符号都两两组合穷尽后（例如99₁₀之后），再用承接在元序列之后出现的第一个真正意义上的组合态的自然数（例如10₁₀）及其后继自然数序列（例如11₁₀，12₁₀，…），依次作为组合码，继续与元序列中的元序列码组合并承接排列，如此递进操作，并可依次生成所有自然数个体及序列。

（说明:以上给出的是“左组合码+右元序列码”的组合模式，也是当前通用的十进制数的组合模式，“左元序列码+右组合码”也可以构造数体系[9]。若按”左元序列码+右组合码”模式，8，9的后继数是“01”[9]。）

3.1、阿拉伯数字的十进制数序列的构造过程讲解

阿拉伯数字的十进制数元序列是〈0，1，2，3，4，5，6，7，8，9〉，我们按以上给出的自然数符号体系的构造方法，先用以上符号依次作为组合码分别与以上所有符号作左右组合排列（执行“左组合码+右元序列码”组合模式），第一批次组合可得00，01，02，03，04，05，06，07，08，09；第二批次可得10，11，……18，19；……。当元序列中最后一个符号9与9组合完毕后（即99后），根据上文给出的组合步骤，再用承接在元序列之后出现的第一个真正意义的组合自然数“10”及其后继序列11，12，……依次作为组合码，继续与元序列码组合并承接排列:……99，100，101，……998，999，1000，1001，……。

根据组合规律不难看出，元序列符号的个数决定了组合码的使用次数，10进制数序列的组合码是”10次一换”，若构造30进制数体系，组合码应30次一换。

也不难看出，不论构造多少进制的数，元序列码都是组合1次换1次，元序列码可以尾首相连无限次循环使用。

结合十进制的机械式号码机（图4），更容易理解元序列码的性质、作用。

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