自然数体系的构造性原理（二） (4-2)

（图4），这是8位的号码机，该号码机的每个数位上都有0～9十个符号，0～9十个符号在圆形滚轮上均匀分布、首尾相连（与底座的垂直面是数的显示面）。按压一次“N O”按钮，靠近按钮的个位上的滚轮就向前转动一格，当个位上9→0时，号码机设计好的物理结构会让十位上的滚轮片和个位上的滚轮同步向前转动一格，共同完成“进1”步骤。

3.2、本构造论给出的构造方法是通用的

但凡结构紧凑、大小合适的字符都可用于构造数体系，譬如我们可以把26个小写英文字母和10个阿拉伯数字符号共36个符号排成一个元序列，用这个元序列构造一套36进制的数体系。

具体步骤:先列出元序列，然后按本文第三章节给出的组合构造方法，构造出这套36进制数的部分数序列。数序列是数体系中的数从小到大、依次、逐个构造形成的，所以构造数序列实质就是在从小到大构造这套数体系中的每个数。当然，构造数序列也是有现实用途的，数体系的加、乘关系式表建构离不开该数体系的数序列。譬如我们以元序列〈a， b ，c ，d， e， f ，g ，h， i， j ，k， l ，m ，n ，o， p ，q ，r ，s， t ，u ，v ，w ，x ，y ，z，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9〉构造36进制数，当我们建构这套36进制数的加法关系式表时，并不能直观看出w+2等于多少，我们只能通过这两个符号所在的位置查找出它们各自指代的基数，查找可知，符号w指代的基数是（||…|₂₂），符号2指代的基数是（||…|₂₈）。然后我们并可通过累加法得出w+2的和是（||…|₅₀），知道了w+2的和是（||…|₅₀），但我们并不知道基数（||…|₅₀）对应这套36进制数中的哪个数（某个组合型态），所以我们必须先构造出这套数体系的数序列，并依次列出数序列中的每个数对应的基数，这样才能建构这套数的加、乘关系式表。通过观察此36进制数的数序列可见，基数（||…|₅₀）与组合“b o”指代的基数是对应的，因此得知w+2=b o（||…|₅₀）。采用原始的计数方法建构的关系式表理论上是可靠的，但是由于计数过程可能会出现错漏，因此需要多做几次实践（关系式表是一次性建构的，一劳永逸），我们也可以通过十进制数关系式表对36进制数的关系式作验证:b指代的基数是“|”，根据进制位权理论，在36进制的1次方数位上的“|”，相当于0次方数位上的（||…|₃₆），加上0次方数位上的符号“o”指代的基数（||…|₁₄），所以”b o”表示的基数是（||…|₅₀），证明我们通过累加法获得的关系式“w+2=b o”是正确的。

由上所述可见，构造一定长度的数序列对于构造一套新数体系是必要的。当然，数序列并不需要无限构造下去，只需要构造到能够满足建构乘法关系式表涉及到的最大数即可（竖式运算是位对位的，所以只需要以数位上最大位值为最大数）。譬如十进制数的乘法关系表涉及的最大数是81₁₀（9×9=81），所以十进制数序列的长度至少要构造到第81位，构造36进制数，数序列至少要列到第1225₁₀位（35×35=1225）。

为了增强本构造论方法、步骤的具体性，本文这里用英文小写字母前6个构造一套6进制数序列的前42个数（36进制数所用字符太多，也不容易直观看出组合规律，所以这里以六进制为例）。

先列出元序列〈a， b ，c ，d ，e， f〉，然后按上文给出的构造的方法、步骤，依次组合构造此6进制数序列。

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