追龟悖论 (5-5)

不考虑共同时间参照系情况下，阿基里斯能不能追上龟取决于100米间距能不能在有限时间内被有限次内对折完（分割完）。在实无限理念正确的前提下，100米间距的分割，是能够在有限时间内完成的，意味着阿基里斯能够在有限时间内追上龟。但是在潜无限理念正确的前提下，100米间距的分割进程是永远完成不了，意味着阿基里斯永远追不上龟。但事实上，在三个默认前提都贯彻的情况下，阿基里斯大约11.2秒左右就能超过龟，那么，能追上龟这个事实是否能说明潜无限理念错误实无穷理念正确呢？作者认为不能。因为能不能追上龟，取决于是否能贯彻三个默认前提，并不是取决于采用哪种无穷观。即使实无穷理念正确，阿基里斯也是永远追不上龟的，因为二者的间距是在阿基里斯等候或减速中产生的，并不是潜无穷理念正确才能产生的，实无穷理念正确也不能让等候或减速产生的间距消失。可见，无论阿基里斯是否追上龟，都不能作为评判两种无穷观对错的依据。

5.2、追龟悖论与微积分

追龟悖论之所以让人感觉逻辑与事实的矛盾很“真实”，主要是因为时间和空间事实上都是连续的、无限可微的，如果我们脱离了动态的时间和空间来思考追赶问题，就会让阿基里斯陷入这两个“无限深的无底洞”不能继续前进。这一事实也说明:微积分中的“瞬时速度”值是不可能通过常量计算获得的，微积分演算过程必然存在取近似值操作，说明微积分本质上属于近似计算。

众所周知，时间区间、空间区间、实数区间都是连续的（非离散的）。这个事实意味着我们人类在用离散性的数学符号语言刻画运动过程时，不可能实现百分百真实再现。只能用若干个离散的实数点在坐标系空间中的连线，去描摹、刻画想象中的空间连续和时间连续。意味着微积分在取得运动过程中的某个时间、空间常量参数时，必然要经历取近似值环节。现在的极限微积分声称微积分计算是纯数学计算，并不承认整个微积分计算过程有取近似值的环节，然而在自变量及其增量无限趋近于0时，又直接取极限值0，这一步骤实质上就是舍弃非0无穷小量的取近似值操作。因为0在应用数学中表示量的“无”，然而经验事物的量无论多么小或少，都属于量的“有”，不能因为量小得无法测量而视为“0”（无），除非在取近似值时可以。

六、结语

芝诺的阿基里斯追不上龟断言明显与事实不符，但仍然有很多人去研究芝诺悖论，说明这个悖论的构思很隐蔽、巧妙，思考这个悖论越深，思考者对于运动的本质以及运动与数学的关系认识就越深刻。

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