追龟悖论 (5-4)

抛弃时间参照系在现实赛跑运动中是不可能的，在三个默认前提下，真实的赛跑情境是自阿基里斯起跑开始，二者的间距就在动态匀速缩短着（各自速度不变前提下，二者的间距缩短也是匀速的，是9米/秒），大约在11.11秒时阿基里斯与龟的间距就会缩短至0，11.12秒后阿基里斯确定能超过乌龟。并不会出现‘’间距及间距的一半永远存在‘’这种现象。

至此，可能有的读者会问，分明是芝诺采用2分法对间距缩短过程的刻画导致了‘’间距永远存在‘’，导致了阿基里斯永远追不上龟，作者你上文怎么说芝诺只有改变默认前提才能让阿基里斯永远追不上龟呢？是的，导致阿基里斯永远追不上龟的真正原因并不是因为芝诺采用了2分法，而是芝诺在用2分除法刻画间距缩短时彻底抛弃了速度这个变量因素。如果在三个默认前提基础上用2分法刻画间距的动态缩短过程，阿基里斯肯定能追上龟（见上文的追龟情境分析c）。

如果贯彻‘’共同的时间参照系‘’和‘’匀速‘’这两个默认前提，用2分法刻画间距缩短、持平、超过的过程是这样的：阿基里斯第一次跑完间距一半时（5秒后），二者间距由100米缩短至55米，第三次跑完间距一半后，二者间距已缩短至16.67米，第五次时，二者的间距已缩短至5米以内，也就是说下1秒（11.5秒后），阿基里斯必然能把间距缩短至0并超过龟。并不需要考虑5米除2还能除多少次，能不能除完，因为在给定的速度条件下（阿基里斯的速度是10米/秒，龟1米/秒），当二者间距缩短到一定的微小尺度时（譬如厘米级的差距时），我们应该以速度为逻辑主线来思考二者间距逐渐持平到超过的过程，并不能仅仅用2分法解释二者是如何接近、持平、超过的，因为时间和空间（间距）都是连续性的，可以被无止境的潜无限微分（芝诺显然认可潜无限理念，否则他不会断言空间距离可以永远2分），我们并不能用2分法把间距缩短过程进行到底，如果我们一根筋似的在间距2分法死胡同中无限深入（试图把二分法进行到底），就等于忽略了时间和速度这两个变量因素，违背了‘’匀速‘’、‘’共时间参照系‘’这两个默认前提。

正确的无悖论思考应该以默认前提为首要前提，在默认前提基础上，适度采用2分法刻画追龟过程（达到一定的空间、时间精度时，应停止2分法分解间距，改用速度去刻画间距的消失）。不能像芝诺那样，全部用2分法刻画追龟过程。这样刻画，间距必然永远存在（虽然间距越来越小，但永不会为0）。

综上所述可见，导致间距永远存在的原因并不在于2分法，而是芝诺在采用2分法刻画间距缩短的过程时，完全‘’忽略‘’了速度或和时间两个变量因素、违背了默认前提导致的。

五、追龟悖论的数学意义

追龟悖论的意义是多方面的，哲学家看到的是追龟悖论的哲学意义，逻辑学家看到的是逻辑学意义，数学家看到的是数学意义。作者这里简要谈谈追龟悖论的数学意义。

5.1、追龟悖论与两种无穷观

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