实分析

绪论

一个区间l 的长度定义为 l(l)＝b – α ，其中 α，b 为左右端点，可以为 ±∞ 。这就是测度的一个鲜明例子，它在直觉上是“测量”集合的一种方法。除了区间的长度，我们熟知的测度还有面积，体积，等等。在有些地方会使用Jordan测度定义它们，这里不表。回到一维的情形，不仅是区间，我们还可以定义开集的长度，因为它是开区间的可数不交并集。

但是这样还不够，我们的野心促使我们试图研究更广泛集合上定义的测度，一个实数集合A 的测度一般用集函数 m(A) 表示。这个非负函数需要满足下面的条件：

(1)对区间l，m(l)＝l(l)；

(2)m 是平移不变的，也就是说对任意集合 E 和实数 y ，定义 E＋y＝{x＋y|x∈E} ，则 m(E＋y)＝m(E) ；

(3)设{Eₙ} 是彼此不交的可数集合族，则

∞ ∞

m (∪Eₙ)＝∪m(Eₙ)。

ₙ₌₁ ₙ₌₁

可是很遗憾，这样的集函数是不存在的。这样我们必须减弱一些条件，比如缩小集函数的定义域。接下来的所有工作都将围绕着这件事进行。

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