Brezis-Lied引理与一个变分问题 (3-1)

按：Haim Brezis教授于2024年7月7日离世. 封面是Brezis和Nirenberg的合照，Nirenberg也已于2020年1月26日离世. 谨以此文纪念两位非线性分析大师，R.I.P.

不少实分析教材会布置以下习题.

习题. 设区域 Ω ⊂ ℝⁿ，fₙ 是 L¹(Ω) 中的一族序列 s.t.

fₙ → f a.e，||fₙ||ʟ¹ → ||f||ʟ¹， 证明： ||fₙ – f||ʟ¹ → 0 .

其实习题就是以下引理([2])的直接推论.

Brezis-Lieb引理. 设序列 fₙ 在 Lᵖ(Ω) 中有界( 1 ≤ p＜∞ )，并存在 Ω 上的 f s.t. fₙ → f a.e. , 则 f∈Lᵖ(Ω) , 且 lim ∫Ω|fₙ|ᵖ – |f|ᵖ – |fₙ – f|ᵖ＝0.

n→∞

今天的主题就是证明Brezis-Lieb引理并应用她来解决一个临界椭圆PDE对应的变分问题(后面会看到，临界意味着Sobolev嵌入的紧性缺失). 主要的参考文献有

[1] H. Brezis,Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations.

[2] H. Brezis, E. Lieb,A relation between pointwise convergence of functions and convergence of functionals.

[3] H. Brezis, L. Nirenberg,Positive Solutions of Nonlinear Elliptic Equations Involving Critical Sobolev Exponents.

证明

笔者参考了[1]的习题4.13, 4.16和4.17. 首先由Fatou引理立得f∈Lᵖ(Ω) . 不难看出Brezis-Lieb引理就是Fatou引理的定量版本 , 能够给出更精细的收敛结果. 我们需要两个初等的估计：对 α，b ∈ ℝ，

||α＋b| – |α| –|b|| ≤ 2|b|

||α＋b|ᵖ – |α|ᵖ – |b|ᵖ ≲ (|α|ᵖ⁻¹|b|＋|α||b|ᵖ⁻¹)，1＜p＜∞.

在引理中自然令α＝fₙ – f，b＝f .

当p＝1 时，对第一个不等式积分并用控制收敛定理即得证；

当p＞1 时，受限于第二个不等式比较粗糙，证明会复杂不少. 一个巧妙的观察是 f ∈ Lᵖ ⇒ |f|ᵖ⁻¹ ∈ Lᵖ'，p' 是 p 的共轭指标，所以不等式的右边就转化为一个弱收敛问题(这个对偶论证显然针对 1＜p＜∞ ). Lᵖ 有自反性，所以 fₙ 有弱收敛子列 fₙₖ ⇀ ∼f ∈ Lᵖ，fₙₖ → f a.e. 由Mazur引理(凸集的弱闭包等于强闭包)，存在一族 fₙₖ 的有限凸组合 gₖ s.t. ||gₖ – ∼f||ₚ → 0 . 由凸性同样有 gₖ → f a.e.（!） 而 gₖ 中也有收敛子列使得 a.e. 收敛于 ∼f (Riesz引理), 所以 ∼f＝f a.e.，fₙₖ ⇀ f . 注意到上述论证对 fₙ 的任意子列也成立，所以 fₙ 的任意子列也有一个子列弱收敛于 f , 因此 fₙ ⇀ f (另一个Riesz引理). 结合第二个不等式，Brezis-Lieb引理即得证. □

应用

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