数理逻辑-余俊伟（二） (5-4)

我们有加算和乘算，有运算律，对一个给定的论域，我们可以考虑让其携带不同的常量、关系、函数。这种添加或减少不同的常量、关系、函数的操作自然地就导出了结构间的归约与膨胀的概念，与之相对应，还有语言间的归约与膨胀的概念。 即讨论不同的结构。

4.2.2 结构间关系

如当我们手里有一类数学结构时，它们之间自然会有同态、同构等等这样的关系；与此同时，我们手里现在又有了可以用来描述这些数学结构的形式语言。

4.2.3 理论的性质

在本节里，我们会 回顾“理论”“公理”等基本概念的定义，同时也会引入“一致性”“范畴性”“完全性” 这三个在讨论理论时最常涉及的概念。

勒文海–斯库伦定理意味着，如果我们所面对的是一个无穷的数学结构，那么就不可 能找到一个理论能够使我们“范畴”地把握这一数学结构。

4.3 无端点稠密线序理论DLO

无端点稠密线序是非常自然的数学结构。对于无端点的稠密线序结构，我认为它是一个具有无限多个元素的序列，且在这个序列中不存在首尾元素。每个元素都有且仅有一个前驱和一个后继元素，且它们之间没有间隔，形成了一种连续的结构。这种结构在数学和计算机科学中具有重要的应用，例如在拓扑学中，无端点的稠密线序结构常用于描述一些无限维的空间。

4.4 随机图理论RG

随机图理论研究的是由随机过程生成的图结构。在随机图中，顶点和边都是随机的，而不是由事先确定的规则或模式确定的。随机图理论研究的问题包括性质、特征和行为、随机图模型的分析等等。

4.5 算术真理论

算术真理论中的典型问题是关于自然数的性质和关系的证明，比如加法和乘法的性质、数学归纳法的应用、质数分解等。通过应用逻辑推理和数学归纳法，我们可以在算术真理论的框架下证明这些性质和定理的真实性。

我们首先需要确定什么是算术命题以及何为算术 真，换言之，即明确所要分析的数学结构与相应的形式语言。

4.6 公理集合论

一阶集合论语言：非逻辑符号里只 有一个二元的关系符号 ∈。

公理：从集合论的角度来看，所有的对象都是集合，而首先，我们自然会接受，世界中是有对象的，由此就得到存在公理。蒯因强调同一性，因此得到外延公理，即即任一集合由它所包含的元素唯一确定。上述两条公理并没有向我们保证会有什么样的集合存在；一个自然的想法是，对给 定的一个集合，我们通常会用相应的性质来描述它，那么，反过来，每一条性质似乎也都应有一个集合与之对应。在集合论的早期历史中，这一想法被整理为所谓的概括原则但导出了悖论，因此修改。对集公理：对于任意的集合 x 与 y，存在着恰好以它们为元素的集合。并集公理：对每个集合 x，存在着集合，它恰好由 x 的元素的元素组成。幂集公理：对任意的集合 x，存在着集合，它恰好由 x 的所有子集所组成。无穷公理：存在着归纳集：∃xφind(x)。良基公理：每个非空集中都有“属于”极小元。

选择公理：对每个其元素非空且两两不交的集合的非空集族 X，都存在着代表元 集 S 使得 S 恰好从 X 中的每个集合里抽取一个元素。就是说是可选的而不是选不出的。

我们还希望能获得二元的加法函数的集合表示，引入替换公理模式与超穷递归构造方法。替换公理模式分弱替换公理模式和强替换公理模式，在已有的公理的 基础上它们是等价的。

4.7 相对一致性

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