数理逻辑-余俊伟（二） (5-5)

一致性难证于是只证相对一致性。保守扩张能保证一致性，还有定义扩张的概念，都说明适当引入新符号不会破坏一致性。把一个公理系统看作从一个较小的系统出发，逐步加入新公理而得；直观上似乎自然的是，小系统一致性的可能性相对来说会更高，那么，假如我们倾向于相信一个小系统 是一致的，并且能证明增加某一（些）公理后的系统相对于原来的小系统是一致的，那 么我们也应该相信这一更大系统的一致性。再进一步，比如，我们相信一个小的集合论系统是一致的，那么它应该有模型，或 者说，它正确地“描述”了集合论宇宙；那么在这一小系统基础上增加新公理，在某种 意义上就是增加对集合论宇宙的“新信息”，或者说，限制小系统原来有的模型；下面我 们会看到，这种限制的信息可以用来保持一致性

第5章 不完全性

5.1 希尔伯特纲领

5.1.1 数学基础危机

数学三次危机：发现无理数、微积分被质疑、集合论悖论。

康托尔集合论悖论：尤拉里–佛蒂悖论（所有序数组成一个集合）、康托尔悖论（所有基数组成一个集合）、罗素悖论（所有不属于自身的集合组成一个集合）。

5.1.2 集合论公理化

尤拉里–佛蒂悖论、康托悖论与罗素悖论的本质是一样的，都是错误地使用了集合概念，问题出在概括公理（任给性质 φ(x)，{x | φ(x)} 都是集合），后来对该公理做了修正：任给性质 φ(x) 和集合 A，{x ∈ A | φ(x)} 都是集合。 这样一来上述悖论中的 Ω, Γ, R 都不再是集合，相应的悖论也消失了。为避免其他悖论开始公理化。给出集合论语言；建立语法，明确什么是项和公式；建立其语义，准确定义什么是真；建立合适的一阶公理系统，包括公理集和推理规则；定义什么是证明；找到公认的可以判断一个对象是不是集合的公理，加入公理集；任何一个对象，如果它是集合，那么它是集合这一点必须在该公理系统中得到证明 。集合论ZFC 给绝大部分现代数学提供了一个严谨的基础。其他公理化如皮亚诺算术公理化、希尔伯特初等几何公理化。

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