数理逻辑-余俊伟（二） (5-3)

设 L1 为可数的一阶语言。则如下命题成立 且等价： (1) 任给公式集 Γ，Γ 是一致的当且仅当 Γ 是可满足的； (2) 任给公式集 Γ 和公式 φ，Γ ⊨ φ 当且仅当 Γ ` φ（符号没打出）。

3.6 紧致性定理（紧性定理）

先证可数的紧致性定理。然后涉及一些拓扑的知识。给出了紧性定理的一些应用。

3.6.1 紧致性定理

（可数的紧致性，1929）. 设 L1 为可数的一阶语言。则如下命题成立且等价： (1) 任给公式集 Γ，Γ 是有穷可满足的当且仅当 Γ 是可满足的； (2) 任给公式集 Γ 和公式 φ，Γ ⊨ φ 当且仅当存在 Γ 的有穷子集 Γ0 使得 Γ0 ⊨ φ。

3.6.2 常见的应用

紧致性定理在数理逻辑中的应用可谓十分广泛，尤其在模型论中的应用几乎随处可 见，比如线序定理、超滤定理、无穷模型存在定理、非标准模型构造等。

3.6.3 拉姆齐定理

拉姆齐于 1928 年证明了拉姆齐定理的无穷版本和有穷版本2 ，标志着拉 姆齐理论3 的诞生。自此拉姆齐理论经过不断发展形成了一个独立的研究方向，并促使 了组合集合论4 等研究方向的产生。

3.6.4 广义初等类

借助紧致性定理讨论结构类的可以定义性问题，从而深入分析一阶语言表达力的局限性，引入初等类和广义初等类的概念。

3.7 哲学的应用

哲学里常用一阶逻辑分析部分论证的有效性。

逻辑的形式化方法：给定公理化的具体理论1 ；建立相应的形式语言，给定初始符号；建立语法，准确定义什么是公式；建立语义，准确定义什么是真的；建立公理系统，给定公理和推理规则；在公理系统下，准确定义什么是证明；把理论的公理与公理系统的公理合成一个公理集，形成该理论的公理系统。具体到一阶逻辑，即一阶逻辑的形式化方法，还要求其中的理论、语言、语法、语义、公理系统都是一阶的。

在形式化方法的基础上用一阶逻辑分析某些使用自然语言的哲学论证 的有效性，论证指用自然语言从有穷个自然语言命题推出某个自然语言命题的推理。论证步骤：一是针对哲学论证选择合适的一阶语言；二是 将哲学论证所涉及的自然语言命题形式化为一阶公式；三是区分清楚哲学论证的前提和结论；四是判断前提所对应的一阶公式组成的公式集 Γ 能否推出结论所对应的一阶公式 φ，即 Γ ⊨ φ 是否成立。如果成立那么论证有效，反之不然。而判断 Γ ⊨ φ 是否成立，一般采用语义赋值的办法或者语法证明的办法。

宇宙论论证：亚氏论证、安萨里卡拉姆宇宙论论证，卡拉姆是雄辩的、宗教哲学的意思。历史上有很多宇宙论论证。

第4章 一阶理论

（私货：我理解的就是，一阶理论是一阶逻辑在数学里的推广，所以以下都是数学理论，此章的正确标题是一阶数学理论。）

4.1 导言

在前面几章中，我们已经看到用形式化方法（公理化的、外延的）可以相对完美地 整理出通常使用的逻辑规律；在本章中，我们将进一步看到这种方法能够把握相当一部 分数学真理；在下一章中，我们会揭示形式化方法更加深刻的特性。 本章题目中的“一阶”这一定语表明，我们会基于一阶语言进行相应的讨论。但这 并不意味着，其他的形式语言，如命题语言、高阶语言或者模态语言不能用于这种形式 化的工作。之所以如此，是因为在具体的数学分支中，这种形式化的工作主要是基于一 阶语言进行的，并且此间已有一些自然而深刻的结果，以之为典范，或许可以使我们更 加深入有效地了解形式化方法。

4.2 结构与理论

此节梳理基本概念。

4.2.1 归约与膨胀

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。