数学：确定性的丧失（七） (4-3)

被提出而未证实的“基础”所起的作用相当于在物理理论中解释性假设的功能……。在数论和其他任何一个建设得很完善的数学理论中，所谓逻辑或集合论公理化基础都是解释性的，而非基础性的。就好像在物理中公理的实际作用是解释该系统中定理所描述的现象，而不是为这些定理提供一个真正的基础。P342

所有观点最终得到这样一个结论：决定数学的合理性的不是能在某一天被证明是正确的某一种基础，数学在物理世界中的应用决定其“正确性”，数学和牛顿力学一样是一门经验科学。当它有效时，就是正确的，若其无效，则须加以修正。尽管两千年来，数学一直被看作是一门先验知识，但实际上并非如此，数学不是绝对的、不可变更的。P343

另外一些同时代的数学家则意识到了基础中的不确定因素，但他们宁愿采取避而远之的态度对待那些他们所称的哲学问题（与纯粹的数学问题相对）。他们很难相信基础中，至少是在他们自己的数学活动中会有什么严重的利害关系，他们宁愿恪守过时的教条。对这些人来说，潜台词就是：今后的75年，让我们就好像什么事也没发生过那样前进吧。他们在某种普遍的意义上大谈证明，即使根本没有这种东西。他们撰写和发表文章就好像不确定性根本不存在一样，对于他们来说，文章发表得越多越好。如果说他们还尊重合理的基础的话，那也只能是在星期天他们祈祷我主宽恕的时候或者是为了看看他们的对手正在做什么而停止写新论文的时候。个人的成就是绝对重要的——不管是对还是错。P345

让我们听听现代最深刻、最博学的数学家之一魏尔的话吧：

我们从未像现在这样对数学的基础和逻辑无所适从。像现今世界中的每一个人、每一件事一样，我们也有自己的“危机”，这危机已经存在了近50年（现在是1946年）。外表上看来，它似乎并未妨碍我们的日常工作，但至少我承认它已在我的数学生涯中起了相当实际的影响，它将我的兴趣引向那些我认为相对“安全”的领域，并不断地消耗我从事研究工作的热情和决断力。在人类所有忧虑与认识、苦恼与创造并存的情况下，那些关心他们所做的工作的意义的数学家也许会和我有同样的经验感受。P347

爱因斯坦于1931年强调了现代科学的虚构特点：

按照牛顿的体系，物理实在是由空间、时间、质点和力（质点的相互作用）等概念来表征的……

麦克斯韦之后，他们则认为，物理实在是由连续的场来代表的，它服从偏微分方程，不能对它做机械论的解释。实在概念的这一变革，是物理学自牛顿以来的一次最深刻和最富有成效的变革……

我刚才所阐述的见解，基础的科学理论原理具有完全的虚构性，绝非18、19世纪盛行的那个观点。而这一见解却逐渐从以下事实中找到根据：在思维中，一边是基本概念和定律，另一边则是必须与我们的经验相关的结论，这两者之间的距离越拉越大。逻辑结构越简单，用以支持逻辑结构而在逻辑上独立的概念成分也就越少。P348

这一问题曾被反复提出，著名的由阿尔伯特·爱因斯坦的《相对论侧记》（1921年）：

在这里产生了一个让各个时期的科学家均感困惑的谜题。数学作为独立于经验的人类思维的产物，为何与物理现实中的客体如此吻合？没有经验依据，而只靠纯粹的思维，人类就能够发现实际事物的性质吗？……

只要数学的命题是涉及实在的，它就不是可靠的；只要它是可靠的，它就不涉及实在。

他继续解释道，数学的公理化使得这种差别清晰化。虽然爱因斯坦知道数学公理与逻辑原理来源于经验，他仍提出这样一个问题：为什么那些长而复杂的纯推理能产生如此卓著的应用结论呢？毕竟，这些推理是独立于经验的，而且涉及的概念是由人类头脑所创造的。P352

在《科学的价值》中，彭加勒说：

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