数学：确定性的丧失（七） (4-2)

冯·诺依曼非常紧张地提出了警告，在时常被引用的论文《数学家》（1947年）中，他说：

当一门数学学科远离它的经验本源继续发展的时候，或者更进一步，如果它是第二代和第三代，仅仅间接地受到来自“现实”的思想所启发，那么，它就会面临严重困境。它会变得越来越纯粹地美学化，越来越纯粹地“为艺术而艺术”。如果在这个领域周围是互相联系并且仍然与实践经验有密切关系的学科，或者这个学科处于具有非常卓越的审美能力的人们的影响之下，那这种需要不一定是坏事。但是，仍然存在一种严重的危险，即这门学科将沿着阻力最小的途径发展，使远离本源的小溪又分散成许多无足轻重的支流，使这个学科变成大量混乱的琐碎枝节。换句话说，在距离经验本源很远很远的地方，或者在多次“抽象”的近亲繁殖之后，一门数学学科就有退化的危险。起初，风格通常是古典的，一旦它显示出巴罗克式的迹象，危险信号就发出来了。……总之，每当到了这种地步时，在我看来，唯一的药方就是为重获青春而返本求源，重新注入直接经验的思想。我相信，这是使这门学科保持清新与活力的必要条件，即使在将来，这也是同样正确的。P300

应用数学家们并不关心严格的证明。对他们来说，演绎推理与物理事件的一致性才是最重要的。其中，代表人物是亥维赛（Oliver Heaviside）。他使用了纯数学家看来是不合理的、怪异的技巧，因此，他遭到了强烈的抨击。亥维赛瞧不起那些他所谓的“逻辑伐木工”。他说：“逻辑可以容忍，因为它是永恒的。”后来他使纯数学家目瞪口呆。当时，发散级数是非法的，而亥维赛在遇到某个特殊级数时却说：“哈！级数是发散的，现在我有办法了。”结果表明，亥维赛的技巧是完全严格化的，并且提供了新的数学论点。为了激怒纯数学家 ，应用数学家亥宣称，纯数学家能发现任何求解中的困难，而他们则能对任何困难求解。

数学的目的在于发现值得了解的事物，但是，按照目前的情况，研究导致了研究，由此又导致了研究。在今天的数学殿堂中，已没有人敢问及意义和目标。P310

在坚实的基础上建立起来的可靠的、无可置疑的一贯正确的数学的概念当然起源于古希腊人的梦想，体现在欧几里得的成果之中。P321

即使从推理的角度来说，无法理解的东西仍然可能是真实的。

很久以前，其他数学家也宣称过直觉的信念胜过逻辑，就像太阳的灿烂光芒胜过月亮的淡淡清辉一样。依赖于基础性的直觉和适度逻辑的笛卡尔评论道：“我发现对逻辑而言，在谈论我们已知的东西或者未知的东西而不作评价时，它的演绎推理和大多数规则是相当有用的。”不管怎样，笛卡尔喜欢用演绎推理来补充直觉。P322

虽然柏拉图确信数学存在于独立于人类之外的某种理想世界中，但他的学说中包含很多与当前观点相悖的东西，而且“柏拉图主义者”这个名称不尽相宜。

这些声称一个客观的、唯一的数学体系的断言，没有说清楚数学存在于何处。它们只是说数学存在于某一超常世界中，恰似海市蜃楼，只能为人所感知。公理和定理并不是纯粹的人类创造，它们更像是深藏在地下的珍宝，只有耐心地挖掘，才能使它们重见天日，但它们的存在就像行星的运转一样是独立于人的。

更进一步，如果存在一个超感知的、绝对的、本质的世界，而且如果我们在逻辑和数学上的命题只是对这些本质观察结果的记录，那么矛盾和错误的命题不就在同样的意义上与真实的命题相提并论了吗？

柏拉图主义者当然反驳说，只是因为人类的能力不足以抓住真理，所以才产生了荒谬的命题和矛盾。P333

但数学家们将为解决这些基本问题而不懈努力，就像笛卡尔所说的，“我将继续前进，知道我找到某种确定的东西——或者，最起码，直到我能确信没有什么是确定的。”P337

也许更令人惊奇的是哥德尔在1950年说的一段话：

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