数学：确定性的丧失（六） (5-5)

某种程度上，哥德尔不完备性定理是对排中律的否定。P270

哥德尔不完备性定理引发的附属问题同样应当提及。既然无论多么错综复杂的数学分支都有不可判定的断言存在，那么我们对某一特定断言能否判定呢？这就是著名的判定问题。它要求一个有效的程序如同计算机一样，能在有限次步骤之内判定一个陈述或一类陈述的可证性。P271

1936年，丘奇使用他新发展的递归函数的概念表明一般不存在判定程序。因此，对一个特定的断言，我们并非总能够找到一个算法判定它是否能证明。在所有特定的情况下人们都有可能发现一个证明，然而这样的证明能否被发现事先并没有检验标准。于是，数学家们尝试求证什么是不可以证明的可能是在浪费时间。至于希尔伯特第十问题，马蒂塞维奇（Turi Matyasevich）于1970年证明：一般情况下没有算法能够判定相应的丢番图方程是否有整数解。这一问题也许并非不可判定，但不存在有效的程序，这意味着对今天大多数的数学家而言，没有一个递归的程序（不必是上面所描述的那一个）能预先告诉我们它是否可解。P272

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