数学：确定性的丧失（七） (4-1)

困扰数学家们的并不仅仅是哥德尔、丘奇以及柯恩的工作带来的问题，数学家们的麻烦与日俱增。由勒文海姆（Leopold Lowenheim）1915年开始的，通过从1920年到1933年之间斯科伦（Thoralf Skolem）发表的一系列论文得以简化和完成的一项研究，揭示了数学结构的又一缺陷，这就是为人们熟知的勒文海姆-斯科伦定理。设想人们为数学的某个分支，或者说就是为可以作为整个数学的基础的集合论，建立了合乎逻辑的数学公理，对此，最合适的例子莫过于用于整数的那组公理了。人们希望这些公理能确定整数的全部特性，并且仅仅是这些特性。然而奇怪的是，人们发现可以找出截然不同的解释或模型，都能满足这些定理。因此，鉴于整数集是可数的，或者按照康托尔的记法，存在N₀ 个整数，则存在着与整个实数集合（甚至在超限的涵义上更大的集合）同样多元素的集合的解释。同理，相反的现象也可能出现，也就是说，假设人们承认了关于集合论的某个公理系统，进而还希望这些公理可以容纳并且的确能描述不可数集族的全部特性。然而，人们却发现了满足这个公理系统的可数集族以及其他一些与人们的常识非常不同的超限解释。实际上，每一个相容的系统都存在着相应的可数模型。

这意味着什么呢？假定人们打算开列一张特征表，并认为它可以刻划且仅仅刻划了美国人，但令人吃惊的是，某人发现了一种动物，其具有表上所列的全部特征，但它完全不同于美国人。换言之，试图用公理系统来描述一类唯一的数学对象事实上是不可能做到的。就像哥德尔不完备性定理告诉人们的，一组公理对于证明属于它们所覆盖的数学分支的全部定理是不充分的那样，勒文海姆-斯科伦定理告诉人们，一组公理能够容许比人们预期多得多的解释，而且这些解释具有本质的区别。公理没有限制住解释或是模型，因此，数学真理性不可能一丝不苟地与公理化一致。P277

1887年，康托尔有证明了无穷小量在逻辑上是不可行的。这个证明从根本上依赖阿基米德公理，即对于任意实数a，总存在一个整数n，使得na大于另一给定的实数b。皮亚诺也证明了无穷小量不存在。

若干数学家的一系列论文最终导致了一种使无穷小合理化的新理论的产生，而最重要的贡献则是由罗宾逊（Abraham Robinson）作出的。P280

称为非标准分析的新系统引入了超实数，它包括原有的实数以及无穷小。

更进一步，非标准分析又引入了新的无穷大数，它们是无穷小量的倒数但不是康托尔的超限数。每一个有限的超实数r可表成x+a的形式，其中x是一个普通的实数而a是一个无穷小量。

使用新的数系将会增长数学的力量吗？迄今为止，通过这种方法仍没能得到任何有重大意义的新结论，可重要的是又开创了一条新路，而这正是一些数学家所渴望的。P282

数学的相容性是显然的，因为直觉的意义保证了这一点，至于选择公理和连续统假设，他们并不承认。P283

抽象化、一般化和专门化是纯数学家从事的三类活动。第四类是公理化。P291

在傅里叶的经典著作《热的分析理论》（1822年）中，他热情地称颂数学在物理问题中的应用：

对自然的深入研究是数学发现最丰富的源泉，这种研究的优点不仅在于有完全明确的目的性，还在于排除含糊不清的问题和无用的计算。它是物筑分析本身的一种手段，也是发现最重要的，自然科学必须始终保持的思想的一种方法。而基本的思想是那些表示自然现象的思想。……P293

稍后，1908年，F·克莱因由于担心创造任意结构的自由会被滥用，他再次强调说：任意的结构是“所有科学的死亡”，几何的公理“不是任意的，而是切合实际的陈述。它们通常由对空间的知觉引出，其确切内容则依方便而定。”P295

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