数学：确定性的丧失（六） (5-4)

但就在第二年，哥德尔发表的另一篇论文却打开了潘多拉的盒子。这篇题为《论数学原理中的形式不可判定命题及其有关系统》（1931年）的论文包含了两个惊世骇俗的结论。其中对数学界尤具毁灭性的断言是：任何数学系统，只要其能包含整数的算术，其相容性就不可能通过几个基础学派（逻辑主义学派、形式主义学派、集合论公理化学派）采用的逻辑原理而建立。这一结果特别适用于形式主义学派，原因是希尔伯特已经仔细地限定了元数学的逻辑原理，能使用的逻辑工具之少甚至连直觉主义者都可以接受。无怪乎魏尔对此评论说：上帝是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性。

上述哥德尔的结果，是他的更为惊人的结果的一个推论，其称为哥德尔不完备性定理。它表明，如果一个形式理论T足以容纳数论并且无矛盾，则T必定是不完备的。这意味着，有这样一个数论的有意义的语句S，使S和非S用这个理论都证明不了。因为S或非S总会有一个是真的，于是就有一个数论的语句S，它是真的，又是不可证明的，故其是不可判定的。

很明显，相容性是以不完备性为代价的。

在此基础上，哥德尔进一步指出，他所考察的形式系统的元数学概念同样可以用数值表示出来。因此，元数学的任何断言都有指派给它的哥德尔数，一个元数学语句的数，与此同时，它还是某个算术语句的数值。这样，元数学也就被“映射”为算术了。P267

使用这些算术术语，哥德尔证明了如何构造一个算术论断G，用元数学语言来说就是，具有哥德尔数m的陈述不可证明。但是G作为一串符号，具有哥德尔数m，于是，G对自己说：“我是不可证明的”。但如果纯粹的算术论断G是可证明的，它就断言了自己不可证明；反之，如果G是不可证明的，那么正如它所断言的，G就是不可证明的。然而，既然算术断言要么可证明，要么不可证明，那么算术论断所从属的形式系统如果无矛盾，必定不完备。即使这样，算术论断G确实是真的，因为它是一个关于整数的论断，可以通过较形式系统所允许的更直观的推理而建立。

人们还可以从下面的例子中把握和领会哥德尔的方案的精髓所在。考察这样的陈述，“这句话是假的”，我们遇上了矛盾。若这句话为真，它断言自己是假的；如果该句话为假，那么它为真。对此，哥德尔用“不可证明”取代“假”，这时句子变为：“这句话是不可证明的“。于是，如果这句话不可证明，那么它讲的是真的；相反，如果这句话可以证明，那么它为假，或是按照标准逻辑，如果它为真，则不可证明。因此，当且仅当不可证明时这个陈述为真。这个结果没有矛盾，但却出现了一个不可判定的真陈述。

下面是一个不很严密的类比：如果推理原理和数学公理是日语，哥德尔的算术化是英语，那么只要日语可以翻译成英语，哥德尔的结果就能得到。

哥德尔不完备性定理断言，不仅仅是数学的全部，甚至任何一个系统，都不可能用类似哥德尔使用的能算术化的数学和逻辑公理系统加以概括。因为任何这样的公理系统都是不完备的。存在着有意义的陈述从属于这些系统，却不能在系统内部得出证明。然而非形式的论证可以证明其正确性。这个结论，即公理化的能力具有局限性，与19世纪末的观点形成了尖锐的对比。那时人们认为数学与公理化了的各分支的总和具有相同的广度，所以，哥德尔的结果是对内涵公理化一个致命的打击。公理化方法的这个缺陷本身并不是一个矛盾，但却是惊人的。因为数学家，尤其是形式主义者，原本期望任何一个真命题一定会在某个公理系统的框架内确立起来。因此，当布劳维弄清楚了直觉上明确的东西不及静电数学上证明的东西多时，哥德尔却证明了直觉的可靠超出了数学的证明。正像伯奈斯所说的，过分推崇公理体系是不明智的。当然，上述论点并没有排除这样的可能性，新的证明方法可能优于几个基础学派接受的逻辑原理所允许的方法。P269

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。