数学：确定性的丧失（六） (5-3)

策梅罗没有区分集合的属性和集合本身，它们被当作同义语使用。弗兰克尔在1922年找出了它们之间的区别。这套被集合论公理化者最通常使用的公理系统叫做策梅罗-弗兰克尔系统。他们俩分别预测到了精致的、严密的数学逻辑的可行性，却没有详细说明逻辑的原理。他们认为这些都是在数学范围之外的，并且确信他们可以像1900年以前的数学家使用逻辑一样来使用这些逻辑原理。P258

反复强调的是，避免矛盾的希望寄托于集合论的公理化，即对所容许的集合类型加以限制，同时又使它们有足够的性质作为分析的基础。到目前为止还没有人从集合论公理理论中得出悖论，策梅罗宣称没有任何人会得出。

然而集合论公理化的相容性还是没有得到证明，而集合论公理化主义者对此一直未加注意。对于这个悬而未决的相容性问题，彭加勒用他惯用的嘲讽语气评论道：“为了防备狼，羊群已用篱笆圈起来了，但却不知道在圈里有没有狼。”

一批以布尔巴基为集体笔名的卓越的德高望重的数学家在1936年详细地证明了大多数数学家所相信的事实，那就是，若接受策梅罗-弗兰克尔的，尤其是经伯奈斯和哥德尔修改过的集合论公理以及一些逻辑原则，那么就可以在其基础上建立所有数学。但是对于布尔巴基派来说，逻辑是从属于数学公理的，对于数学是什么或数学家做些什么它不起支配作用。

布尔巴基派在《符号逻辑杂志》（1949年）的一篇文章中表明了他们对逻辑的看法：“换句话说，逻辑，就我们数学家而言，是我们使用的语言的语法，而语言早在语法建立前就已经存在了。”数学将来的发展可能要求对逻辑有所修改。这在引入无穷集合时就已经这样做了，我们将看到，在讨论非标准分析时，我们还得这样做。这样布尔巴基派就脱离了弗雷格、罗素、布劳维和希尔伯特。逻辑的修改利用的是选择公理和排中律，尽管它们是用希尔伯特的技术方法推导出来的。布尔巴基派不屑于研究相容性问题，他们说：“我们仅仅意识到，当所有异议都被排除，并且推理的正确性没有疑义时，这些困难也就都被解决了。”矛盾在过去产生过并且已被解决了，将来也会是这样。“过去的25个世纪，数学家们一直在改正他们的错误，并且看到数学是更加丰富了而不是更加贫乏了；这就使他们有权力去展望未来。”

这样，到1930年，四种彼此独立的、截然不同的并且或多或少有些冲突的关于数学基础的方法都已亮相。并且可以毫不夸张地说，他们彼此的追随者也都处于对峙状态。一个人再也不能说一条数学定理是被正确地证实了，因为到1930年，他必须加上一句，即依照谁的标准它被认为是正确的。除了直觉主义者认为的人的直觉能保证相容性外，数学的相容性，这个激发了新方法的重要问题，根本就没有得到解决。P261

但是，两个问题继续困扰着数学界。首先是建立数学的相容性，这恰恰是希尔伯特在1990年的巴黎讲演中提出的。虽然已知的悖论已经解决，可再次发现新悖论的危险依然存在。另一问题被称为完备性，一般而言，完备性意味着任何数学分支的公理对于判别涉及该分支的概念的所有有意义的断言的真伪性是充分的。P263

在1925年的文章中，他进一步强调了这一观点：

作为可以用来处理基本问题的方法的一个例子，我更乐于选取一切数学问题均可解决这样一种观点。我们都相信这一点，吸引我们去研究一个数学问题的最主要的原因是：在我们中间，常常听到这样的呼声，这里有一个数学问题，去找出它的答案！你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有不可知！P265

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