数学：确定性的丧失（六） (5-2)

写下来的词句或说出来的语言在我的思维机制里不起任何作用。……那些似乎可用来作为思维元素的心理实体，是一些能够“随意地”使之再现并且结合起来的符号和多少有点清晰的印象。……对我来说，上述那些元素是视觉性的，也有一些是肌肉型的。只有在第二阶段，才有必要费神地去寻求惯用的词或其他记号。……

当然形象化在创造行为中起了主要作用，将欧几里得平面划分为两部分的无限长直线就来自于形象。这样，问题就可以归纳为，大脑对一个事实（不管是怎样得到的）的把握是否已达到如此确定的程度（就如同直觉主义者所主张的那样），以至于使用准确语言和逻辑证明来表达变得不是那么重要了呢？P246

希尔伯特的理论的首要点就是既然逻辑的发展确实与数学思想有关，既然经典数学被留存下来，一些超逻辑公理（例如无穷公理）总要被引入，那么正确的数学方法必须包括既有逻辑又有数学的概念和公理。此外，逻辑必须研究那些包含某些超逻辑的具体概念的事物，例如整数，它们早在逻辑开始发展前就存在于直观中了。

但是，希尔伯特说，因为不能仅仅从逻辑中推导出数学——数学不是一种逻辑的结果而是一种自然存在的法则——每一个分支都必须含有包括逻辑和数学在内的适当的公理。此外，对待数学的最可靠的方法就是不把它当作实际知识而是当作一种形式上的法则（尽管，非正式地说，它的含义及它与现实的联系已融入其中）。根据逻辑学原理，演绎法可归结为对符号的操作。P250

希尔伯特希望，不明确使用“一切”这个词就可以避免任何悖论。

对于所有的用公式和符号组合表达的逻辑和数学公理，希尔伯特准备用客观的证明来说明他的想法。它包括以下过程：肯定某一个公式；肯定这个公式蕴涵另一公式；肯定第二个公式。一系列这样的步骤，其中所肯定的公式或蕴涵关系都是前面的公理或结论，这就构成了一个定理的证明。另外，用一个符号去代替另一个或一组符号也是一种允许的运算。这样，把逻辑公理用到以前建立的公式或公理的符号操作上去，就可以推导出公式。

一个公式为真，它必须且只须是这样一串公式中的最后一个，其中的每一个公式，或者是形式系统中的一条公理，或者是由归纳法则所导出的公式。每个人都可以验证，一个给定的公式是否可以通过一串适当的推导得到，因为证明在本质上就是对一些符号的机械操作。这样，按照形式主义的观点，证据和严密性就是确定的、客观的。

于是对于形式主义者来说，数学本身就是一堆形式系统，各自建立自己的逻辑，同时建立自己的数学；各有各自的概念，各自的公理，各自的推导定理的法则，以及各自的定理。把这些演绎系统中的每一个发展起来，就是数学的任务。P252

元数学的基本思想可以用一个比喻来理解：一个人想要研究日语的有效性和综合性，如果用日语研究就会由于语言的限制而对研究不利，但如果英语是一种有效的语言，那么他就可以利用英语来研究日语。

在元数学中，希尔伯特提议用一种特殊的无任何异议的逻辑，这些逻辑原理应该很明显为真，任何人都能接收它们。事实上，它们很接近于直觉主义原理。P254

与罗素一样，直觉主义者反对形式主义的存在性概念。希尔伯特坚持认为任何实体的存在性都可以通过它被引入时所在的数学分支的相容性所保证。这个相容性概念对于直觉主义者来说是不能接受的。相容性不能保证纯存在定理的真实性。早在两百多年以前，这种证明就由康德写在他的《纯粹理性批判》一书中：“对于取代概念的逻辑可能性（即这种概念不能自相矛盾）和对于事物的先验可能性（即客体须与概念相符），它们只能欺骗和取悦于头脑简单的人。”P256

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