数学：确定性的丧失（六） (5-1)

对排中律的否定产生了一种新的可能性——不可判定的命题，对于无穷集合，直觉主义主张还有第三种状况，即可以有这样的命题，既不是可以证明的，也不是不可以证明的。他们给出了下面的例子：让我们定义π的十进制展开式的第k位出现了第1个零，其后依次跟着1到9这些整数。亚里士多德的逻辑认为k或者存在，或者不存在。遵循亚里士多德的数学家则以此两种可能性为基础进一步进行论证。布劳维和直觉主义者普遍反对所有这类论证，因为我们并不知道我们是否能够证明k存不存在。因此，根据直觉主义者的观点，一些明白而重要的数学问题永远不能在任何一种数学基础上得到解决。这个问题对于我们来说是可以断定的，但实际上我们信念的基础只不过是因为它们涉及到了过去已经断定了的数学概念和问题。

按直觉主义者的观点，关于实数系、微积分、现代的实函数理论、勒贝格积分以及其他方面的经典结构和逻辑主义结果是不可接受的。P242

不幸的是，与逻辑学派一样，他们在什么是可接受的基础这一问题上也产生了分歧。P242

然而，在不否定直觉主义中其他思想的重要性的情况下，事实仍然是：许多连直觉主义者都接受的理论对直觉来说也是如此的微妙和不可思议，很难相信人的头脑能直接认识到它们的真实性。

创造的常规方式和数学的理想化、抽象化的常规方式是基本的，这一论断由F·克莱因和帕斯更推进了一步。直觉能发现一种连续却无处可导的函数或一条填满正方形的曲线（皮亚诺曲线）吗？这种创造，即使可由直觉提出，也必须经过理想化和抽象化的提炼。克莱因说简单幼稚的直觉是不准确的，而经过提炼后的直觉却又根本不是真正的直觉，它来自于建立在公理基础上的逻辑发展。我们将最终依赖于从公理出发的逻辑推理。对此，布劳维说，一个公理系统必须用解释或模型的方式来证明相容性，而这种解释或模型本身也必须是相容的。他尖锐地问道，我们总能找到这样的解释，而且不依赖于直觉基础而接受其相容性吗？

如果正确性意味着人类头脑的自明，那么我们可能依赖什么样的概念和推理呢？而对所有人类都具有客观有效性的真理又在哪里呢？P244

直觉主义学说引起了一个相关的问题。正如我们所知，他们坚持认为正确的，可接受的思想能被并且已被人类的头脑所领悟。这些思想并非起源于语言形式，实际上，语言只是传输这种不完善的工具。这个已被详细讨论过的问题就是思想是否能脱离语言而独立存在。

欧拉在给普鲁士王国腓特烈一世的侄女安霍-德骚（Anhalt-Dessau）公主的信中（发表于1768-1772年间），讨论了这个问题：

无论一个人运用抽象的能力有多么强，同时还在头脑中融入了一般的思想，但如果没有书面的或口头的语言作为帮助，他就不可能取得重大的进展。这两种方式都包含了大量的词汇，它们只是与我们思想相对应的一些特定的符号。它们的含义是由习俗或由群居在一起的人们的默认所决定的。

从这里可以看出，对人类来说，语言唯一的目的就是在人类之间相互传递他们的感知。一个孤立的人没有它也可以过得很自在，但我们只要稍加思考就足以明白：人类确实需要语言。这是与其他人沟通的需要，同时也是培养、磨炼他们自己的思想的需要。

阿达马在《数学领域中的创造心理》（1945年）中考察了这样一个问题：数学家们是如何思考的。他发现在创造过程中，所有的数学家实际上都避免使用准确的语言，他们用的是含糊的、可见或可触摸到的印象。爱因斯坦在一封信中（后被载入阿达马的书中）描述了这种思维模式：

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