数学：确定性的丧失（五） (5-4)

由于布劳维不承认任何先验的，有约束力的逻辑原理，也不承认这种从公理推导结论的数学工作，因此他拒绝接受19世纪后期的公理化运动和逻辑学派。数学不受逻辑规则的限制，懂得数学并不需要懂得形式的证明，由于这一原因，那些悖论变得无足轻重。悖论是逻辑而不是真正的数学的缺陷，因此，相容性这个魔鬼没有任何的意义。相容性肯定是正确思想的结果，这些思想是有意义的，其正确性可以通过直觉来判定。

然而在逻辑的领域中确有一些清晰的、直观上可接受的逻辑原理或程序，它们可以用来从老定理中确定新定理，这些定理是基本数学直觉的一部分。可是并非所有的一般逻辑原理都可被基本直觉所接受，我们对从亚里士多德时代以来就被接受的逻辑原理必须要有所判别。数学家们一直是过于随便地使用着有限制的亚里士多德法则，以至于导致了自相矛盾。直觉主义者会问，在处理数学结构时，如果偶尔忽略了直觉而工于语言结构，那么什么又是允许的或安全的呢？

因此，直觉主义者们对哪些逻辑原理是允许的进行了分析，以使通常的逻辑与正确的直觉一致并能使它正确地表达出来。布劳维引用了排中律——这个被用得过于随便的逻辑原理为例。这个原理在历史上起源于推理在有限集合上的应用，并由此抽象而来。它肯定两个有意义的断言或真或假，后来它就被认为是一条独立的、先验的法则，并且不加证明地被应用到无穷集合上去了。对于有限集可以通过检验每一个元素来判断是否所有的元素都具有某个特定的性质，而对于无限集合这个规则则不可实现。我们可能碰巧得知一个无限集合中的某个元素不具有这个性质，或者通过构造某种集合得知或证明每个元素不具有这个性质。但无论如何，我们都不能用排中律来证明这个性质是成立的。

这样，如果有人证明了在一个无限整数集中，不是所有的元素都是偶数，而得到至少存在一个奇数的话，该结论将被布劳维所否定，因为这一论证把排中律应用于无限集合。但是，此类论证在数学实体的存在性证明中被广泛地采用，例如在证明每个多项式方程都有一个根中就用到了它，因此许多存在性证明是不为直觉主义者所接受的。他们说，这样的证明对假定存在的实体来说太模糊了，排中律只可用于有限集合的情况。因此，对于一个有限整数集，如果证明了不是所有的元素都为偶数，那么就可以得出至少有一个为奇数的结论了。

魏尔对直觉主义关于逻辑的观点做了如下扩充：

根据他（布劳维）的观点和对历史的知识，经典的逻辑是从有限集及其子集的数学中提取出来的。……忘记了这一有限的起源，人们就会错误地把逻辑看作是高于并且先于全部数学的某种东西，从而最终不加证明地将其应用到无限集合的数学中去。这是集合论的堕落和原罪，而悖论的出现就是其应受的惩罚。令人惊讶的不是这种矛盾的出现，而是矛盾出现得如此之晚。

后来魏尔又补充道，“排中律可能对上帝来说是有效的，他能够一下子检查完自然数的无穷序列，而对于人的逻辑，这一点却是做不到的。”

布劳维在1923年的一篇论文中给出了一些定理的例子。如果我们否定排中律在无限集合上的应用，那么这些定理就是不成立的。尤其是波尔查诺—维尔斯特拉斯（Bolzano -Weirstrass）定理——每个有界无穷集有一极限点——是不能证明的。闭区间上连续的函数存在极大值也是不能证明的。还有海涅—鲍莱尔（Heine-Borel）定理，即从任一个包含或覆盖一个点的区间的区间集中可选出有限个覆盖该区间的集，也遭到了否定。当然，这些定理的推论也是不可接受的。

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