数学：确定性的丧失（五） (5-3)

彭加勒和克罗内克一样，认为不必定义整数，或在公理基础上构造它们的性质。因为我们的直觉先于这一结构而存在。彭加勒还认为，数学归纳法并不真正保证结论的普遍性和新结果的产生，它听起来是直觉的，但却不能把这一方法归结为逻辑。P234

随后，彭加勒批评了库蒂拉关于数1的定义。库蒂拉说，1就是任何两个元素都相同的类的个数。“但是，如果我们问库蒂拉，2是什么时，恐怕他又不得不使用1了”。P235

布劳维在数学上的直觉主义立场来源于他的哲学。数学是起源和产生于头脑的人类活动，它并不存在于头脑之外，因此，它是独立于真实世界的。头脑识别基本的、清晰的直觉，这些直觉不是感觉或经验上的，而是对某些数学概念直接的确定，其中包括整数。基本的直觉是对一个时间序列中的不同事件的确定，“当时间进程所造成的贰性（twoness）的本体，从所有的特殊事件中抽象出来时，就产生了数学。所有这些贰性的共同内容所留下来的空洞形式就变成数学的原始直觉，并且由无限反复而产生了新的数学对象。”

布劳维认为数学思维是智力构造的一个过程，它建造自己的天地，独立于经验，并且只受到必须建立于基本的数学直觉之上的限制。这种基本的直觉概念不应被理解为像在公理理论中的那种未下定义的概念，而应设想为某种东西，只要它们在数学思维中确实是有用的，用它就可以对出现在各种数学系统中的未下定义的概念做出直观上的理解。另外，数学是综合的，它包含的是真理而不是推导出逻辑的隐含意义。

布劳维认为“要在这个构造过程中发现数学唯一可能的基础，必须再三思考，反复斟酌：哪些论点是直觉上可接受的，头脑中所自明的；哪些不是。”是直觉而不是经验或逻辑决定了概念的正确和可接受性。当然，必须记住，这一陈述并未否认经验所起的历史作用。

除了自然数以外，布劳维坚持认为加法、乘法和数学归纳法在直觉上是清晰的。而且，当头脑已获得自然数1,2，3……的概念后，使用“空洞形式”无限重复的可能性，从n到n+1的步骤，就产生了无穷集合。然而，这种集合只是潜无穷，因为对于任一给定的有限数集，总可以加入一个更大的数。布劳维否定了康托尔的所有元素都“一下子”出现的无限集，并因此否定了超限数理论、策梅罗的选择公立以及使用了真正的无限集的那部分分析。P237

布劳维接着讨论了数学与语言的关系。数学是一个完全自足的活动，它独立于语言，措辞和语言表达只是为了阐述真理，数学思想更深地扎根于人脑中而不是在语言中。数学直觉的世界与感知的世界相对，语言作为理解一般事物的工具存在于后者中，而不是数学中。语言通过符号和声音唤起人脑中思想的摹本，其区别类似于爬山的运动与用语言来描述这一行动之间的区别。但是数学思想不依赖于语言的外衣，并且事实上要更为丰富。就算采用了包括符号语言的数学语言，思想也无法被完全地表述出来。此外，语言与真正数学的主旨也是大相径庭的。

更有意思的是直觉主义关于逻辑的立场，这一点在它反对逻辑主义时尤为突出。逻辑属于语言，它提供了一套规则体系，用以导出更多的词语关系，这也是为了交流真理。然而，这里所说的真理在被从直觉上领悟之前并不是真理，而且也并不能保证它一定能被领悟到。逻辑并不是发现真理的可靠工具，用别的方法不能得到的真理，逻辑也一样不能推导出来。逻辑的原则是在语言中归纳观察到的规律性。它们是运用语言的一种手段，或者说，它们是语言的表现理论，逻辑只不过是一座宏伟的语言大厦。数学上最重要的进展不是通过完善逻辑形式而是通过变革其基本理论来得到的，是逻辑依赖于数学，而不是数学依赖于逻辑。逻辑远不如我们的直觉概念可靠，数学也并不需要逻辑来保证。历史上，逻辑原理是从有限的物体集合的经验中抽象出来的，而又符合一个先验的有效性，于是，也就适用于无限集合了。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。