数学：确定性的丧失（五） (5-2)

我像人们需要宗教信仰一样渴望确定性，我想在数学中比在任何其他地方更能找到确定性。但我发现，许多数学证明——我的老师希望我接受——却是错误百出。而且，假如真的在数学中找到了确定性，那它一定是数学的一个新领域。它有比迄今为止认为是安全的领域更加坚实的基础。但当工作进行时，我不断地想到大象和乌龟的寓言。把大象置于整个数学的基础上之后，我发现大象摇摇欲坠，于是再造一个乌龟来防止大象倒下，但这乌龟不比大象更安全。而在经过20年左右的艰苦工作后，我得出的结论是，在对于使数学更确信无疑这一工作上，我已无能为力。

在《我的哲学发展》（1959年）一书中，罗素承认“一直以来，我希望在数学中找到的绝对的确定性消失在一个令人迷惑的迷宫中了。……它确是一个复杂的概念的迷宫。”而这也不是罗素一人的不幸。P231

直觉主义者则通过唤醒人们内心所确认的约束意识来寻求数学真理。从逻辑原理所推导出来的东西，不比直接感悟的更可信，悖论的发现，不仅肯定了逻辑主要不可信，也促进了明确的直觉主义观念的形成。

从广义的角度来讲，直觉主义可以追溯到笛卡尔和帕斯卡。在《思维的指导法则》一书中，笛卡尔说：

我们不惮错漏地在此公布知性上升为知识的途径，这样的途径有两种：直觉和演绎。我所说的直觉并非各种感觉的验证，也不是被自然而夸大的想象的错误判断，它是来自于缜密的头脑中的概念。它是如此清晰和明白，对于它所理解的东西，根本不含任何可疑之处，或者说——两种说法其实是一样的——审慎而缜密的头脑中自明的概念，是仅由理性获得的概念，并且因为更简单而比演绎本身更确定。尽管我们在前文中所说，在演绎过程中，人的头脑也不会出错。因而，我们每个人都可凭直觉知道：我们存在、我们思考、三角形仅由三边围成、球面由单面所围成、以及如此种种。

……

也许有人要问，为什么要在直觉中加入这种由演绎得来的其他类型的知识，也就是说，加入了从我们对其确定知识的事物中得到其必然结果的过程。我们不得不采用这第二步，因为对于许多并不是自明的事物，只要它们是从真理和无可争辩的原理中而来，并经过连续不可分的思维活动（对每一件事都有清楚的直觉）得到，那么它们就会打上确定性的烙印。正如这样一种情况：尽管我们不能在一瞥之间就把一条长链中的所有中间环节尽收眼底，但如果在依次看过以后，我们能回想起它们从头到尾都是一环扣着一环的，那么，我们就可以知道最后一环和第一环是连在一起的。这样，我们将直觉和演绎区分开来，因为在后一种情况中我们构想了某种步骤或顺序，并且与前一种情况中的不同。……由此，我们便通过直觉或演绎（这要取决于我们如何看待它们）得到直接出自于原理的命题。尽管这些原理本身只能由直觉知晓，而稍远的结果则只能依靠演绎得到。P231

尽管康德主要是个哲学家，但康德于1755年到1770年间却在哥尼斯堡大学教授数学和物理，他认为我们的所有感觉都来自于一个预先假定的外部世界。然而，这些感觉或感性知识并不能提供多少知识，所有感性知识都包含了感知者和被感知物体间的相互作用。心智将这些感性知识梳理清楚，得到对空间和时间的直觉。空间和时间并不是客观存在的，而是心智的创作。

然而，康德关于时间时直觉的一种形式的分析，以及心智提供基本真理的普遍观点却具有经久不衰的影响力。

在克罗内克看来，像康托尔和戴德金通过一个一般集合论得出的普通整数的复杂的逻辑推导，比直接接受整数还不可靠。因为在直观上这是清楚的，而且无需更可靠的基础。除整数外，所有的数学结构必须建于具有清楚意义的术语的基础之上。P233

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