数学：确定性的丧失（二） (5-5)

哈密尔顿发明四元数后不久，从事其他领域研究的数学家们引入了更奇怪的代数。著名代数几何学家凯莱引进了矩阵，它是矩阵或正方形数组。对它们也可进行通常的代数运算。但是如同在四元数中的情形一样，它也没有乘法可交换性。而且即使两个矩阵都不为0，它们的积也可能为0。四元数和矩阵只不过是许多性质越来越奇怪的代数的先驱。格拉斯曼（Hermann Gunther Grassmann）发明了许多这样的代数。它们甚至比哈密尔顿的四元数还要一般化。

为了特别的目的而创建的这些新代数本身并没有向普通的算术及其扩展在代数和分析中的真理提出挑战。毕竟，一般的实数和复数可用于完全不同的目的，它们的实用性是无可置疑的。然而，新代数的出现使人们对熟悉的算术和代数中的真理提出了质疑，正如接受了新的文明的习俗的人开始反省他们自己。

对算术真理的最严重的打击来自于亥姆霍兹（Hermann von Helmholtz），他是个卓越的物理学家、数学家和医生。在他的《算与量》（1887年）一书中，他认为数学的主要问题是算术对物理现象的自适应性的证明，他的结论是只有经验能告诉我们算术的法则能用在哪里，我们并不能肯定一条先验公式是否在任何情况下都适用。

亥姆霍兹考虑了许多相关的问题，数的概念本身来自于经验，某些经验启发了通常类型的数：整数、分数和无理数及其性质。对于这些经验，熟悉的数是适用的。我们认识到存在确实相等的物体，因此我们可以说，例如，两头牛。然而，这些物体必须不能消失、混合或分割。一个雨滴与另一个雨滴相加并不能得到两个雨滴。甚至相等的概念也不能自动地用于经验。看起来如果物体a=c而b=c则一定有a=b。但是有可能两个音听起来都与第三个音相同，而耳朵却可以区别出前两个音。这里与同一事物相同的事物并不相同，同样地，颜色a和c看起来都和b相同，而a和c却是有区别的。P88

我们怎样才能由两次比赛各自的平均击中率求得这两次比赛的平均击中率呢？答案是用一种新的分数加法。我们知道联合的平均击中率是5/7，而单场比赛的击中率分别是2/3和3/4，我们看到如果把分子和分母对应相加得到新的分数，这就是正确答案，即2/3+3/4=5/7，假设这个加号意味着分子相加和分母相加。P88

这些可以称之为棒球算术的例子确实说明可以引进与以前我们熟悉的运算不同的运算，这样就创造了一个实用的算术。事实上也确实存在许多其他的算术，然而，一个真正的数学家绝不会凭一时的兴致去发明一种代数。一种代数总是为了表示一类物理世界的现象而创造的，正像我们上面的分数加法适用于两次击球平均率的合成。我们可以通过定义适合于这类物理现象的运算很方便地对物理世界发生的事情进行研究。只有经验能告诉我们普通的算术何处可应用于给定的物理现象，这样就不能说算术是一定适用于物理现象的一个真理体系。当然，由于代数和分析是算术的延伸，它们也不是真理体系。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。