数学：确定性的丧失（三） (5-1)

因此，数学家们只能得出这个令人沮丧的结论：数学中没有真理，即作为现实世界普世法则意义上的真理。算术和几何基本结构的公理是受经验启发得出的，因而这些结构的适用性是有限的，它们在哪里是适用的只能由经验来决定。希腊人试图从几条自明的真理出发和仅仅使用演绎的证明方法来保证数学的真实性被证明是徒劳的。

对许多富有思想的数学家来说，数学不是一个真理体系这一事实实在是难以接受。似乎上帝想用多种几何和代数来使他们困惑，正如他曾用不同的语言困惑了建筑巴别塔的人们那样。因此他们拒绝接受这些新的发明。P89

1921年爱因斯坦给出了关于数学与物理世界的关系的精彩的叙述：只要数学的命题是涉及实在的，它们就不是可靠的；只要它们是可靠的，它们就不涉及实在。……但是，另一方面，作为一般情况的数学和作为特殊情况中的几何，它们的存在是由于我们需要了解真实客体的一些性质。

数学并不是一个真理体系这一认识确实振聋发聩。让我们首先看一个数学作用于科学的结果。从伽利略时代开始，科学家们就认识到，科学中的基本原理与数学原理相反，必须来源于实践。尽管两个多世纪的时间里他们相信他们所发现的是自然界的设计之中所固有的，但是到了19世纪初他们认识到科学定理并不是真理，甚至数学的原理也是来源于经验而且并不能肯定它们的真实性。这一认识使科学家们意识到只要他们使用数学的公理和定理，他们的理论就更加脆弱。自然法则是人的创造物，是我们，而不是上帝，才是宇宙的法则制定者。自然法则是人的描述而不是上帝的命令。P92

正如W·詹姆斯所说：“人的智力生命几乎完全取决于他的理性知识取代其感性知识的程度。我们的经验正是来自于这样的感性知识。”而这种理性知识并不是感性知识的真实表述。

人的精神支柱、推理框架以及所有已建立的思想权威都随真理的丧失而失去了，“人类推理的骄傲”随着真理大厦的坍塌而崩溃了。历史的教训是，我们最坚定的信念不是凭主观所作出的论断。事实上它们是最不可信的，它们标示的不是我们的成功而是我们的局限性。P94

然而，在这一领域的发现却令人吃惊：他们曾一直认为是高度逻辑化的科学实际上完全是不合逻辑地发展着的。

亚里士多德指出：对某一概念的定义必须用已知的概念来描述，因为不可能有无源之水。所以他断言，必然有未定义的概念做为开始。P96

对于这一缺陷有两种可能的解释，一种可能是欧几里得未必赞同必须有未定义概念；另一种可能是像他的一些支持者所说的，他意识到了一定会存在未定义概念。他只是希望，他的原始定义能给出它们所定义的概念的直观意义，由此即可判断他们所遵循的公理是否正确的了。然而，即使是后一种情况，欧几里得也不应该把这些定义放到他的正文中去。但无论欧几里得的目的是什么，实际上从他以后，两千多年来追随他的数学家们都无一例外地忽略了未定义概念的必需性。帕斯卡曾在《几何精神论》（1658年）中要求人们注意这种必需性，但他的提醒未被人们所理睬。

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