数学：确定性的丧失（二） (5-4)

最初高斯似乎得出数学中没有真理的结论，在1811年11月21日写给贝塞尔的一封信中他说：“我们不该忘记，（复变）函数与其他所有的数学构造一样，只是我们自己的创造物，因此当我们由之开始的定义不再有意义的时候，我们就不应当再问它是什么，而应该问，如何做出合适的假设，使它继续有意义。”但没有人乐意放弃囊肿宝物，高斯显然是重新考虑了数学的真理问题并找到了立足的根据。在1817年写给奥伯斯（Heinrich W. M. Olbers）的一封信中，他说：“我越来越相信，我们的（欧几里得）几何的（物理）必然性是不可证明的，至少不能靠人的推理能力来证明，人的理性也不需要去证明它。也许来世我们将能获得现在所不具备的对空间本质的一种洞察力。而到那时我们已无需将几何与算术置于同一地位，后者是一种纯粹的先验知识，现在我们只能将几何与力学相提并论。”高斯与康德不同，他没有把力学定律视为真理。其实他和大多数人都接受了伽利略的观点，即这些定律是基于经验的。1830年4月9日，高斯写信给贝塞尔说：按照我最深的信念，在我们先验的知识中间，空间理论与纯粹算术占有完全不同的地位，在我们关于空间理论的全部知识中，对作为纯粹算术的特征的必然性（即绝对真理）缺少完全的信念，我们还必须谦卑地说，如果数仅仅是我们思维的产物，那么空间在我们的思维之外有其实在性，它的法则我们不能完全先验地规定。

高斯是在说明，真理存在于算术中，因此也存在于建筑在算术之上的代数和分析（微积分及其扩展）中，因为算术的真实性对我们的心智来说是明显的。P82

显然，数学家们将基于有限的经验显得正确的命题作为公理，并错误滴地相信了它们是自明的。

非欧几何及其隐含的关于几何真理性的内容逐渐被数学家们所接受。但并不是由于它的适用性的任何论据被加强了，而是正如普朗克（Max Planck），这位量子力学的奠基人在本世纪初所说的：“一个新的科学真理并不是靠说服它的对手并使其看见真理之光取胜，而是由于它的对手死了，新的一代熟悉它的人成长起来了。”P83

这种用复数来表示平面上的向量及其运算的方法到1830年时已经差不多是众所周知的了。然而，如果几个力作用于一个物体，则这些力及其向量表示不一定通常也不会总在同一个平面上。如果为了方便起见将通常实数称为一维数，复数为二维数，那么，要用什么来表示空间中某种三维数的向量及其代数运算呢？人们希望对这种三维数进行的运算，类似于复数的情况，将必须包括加、减、乘、除，而且必须满足通常实数和复数所具有的那些性质。这样代数运算才能自由且有效地使用。于是，数学家们开始寻找一种称为三维复数及其代数的数。

有许多数学家从事了这一问题的研究。1843年，哈密尔顿提出了一个有用的复数的空间类似物，哈密尔顿为此困惑了15年。那时数学家们所知道的所有的数都具有乘法的交换性，即ab=ba，因此哈密尔顿很自然地相信他所找的三维数或三元数，也应该具有这一性质以及其他实数和复数具有的性质。哈密尔顿终于成功了，不过他被迫做出了两点让步。首先，他的新数包含四个分量，其次，他不得不牺牲了乘法交换律。这两个特点对代数学来说都是革命性的，他把这种新的数叫做四元数。

四元数的引入给了数学家们又一次震动。它是一个确确实实有实际用途的代数，却不具备所有实数和复数都具备的基本性质，即ab=ba。

四元数的引入给了数学家们又一次震动。它是一个确确实实有实际用途的代数，却不具备所有实数和复数都具备的基本性质，即ab=ba。

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