数学：确定性的丧失（四） (5-4)

把一个单纯的假设当作自己的结果来着手处理问题是很普遍的，我们假设在任何情况下，执行减法、除法、开方的运算都是可能的，而且认为我们已经作了足够多的这种运算。但是为什么我们不假设所有的加法、乘法定律在三维复数系统中会像在实数中一样成立？因为这些假设包含着矛盾。如这样我们首先要做的是证明我们的其他假设不包含任何矛盾，直到我们做了这一切，像我们希望的，严格才不会是空想。

皮亚诺和他的学派也在19世纪90年代开始比较严肃地对待相容性问题。皮亚诺相信建立相容性将很容易。

数学的相容性很可能在希腊时代就被怀疑，为什么到19世纪末它才得以显露？我们已经注意到，非欧几何的创立迫使人们意识到，数学是人为的，只是对现实世界的近似描述，这种描述是相当成功的，但从反映宇宙的固有结构而言，它并不是真理，因而不必是相容的。实际上，19世纪末的公理化运动使数学家们认识到数学和现实世界间有一条壕沟，每个公理体系都包含未定义概念，其属性在这些公理意义上是明确的。但这些概念的意义并不固定，虽然我们头脑中直觉地具有数、点及线的概念。值得肯定的是，公理是用来确定属性，从而使这些概念确实具有我们本能地与之联系在一起的属性。但是我们确实做到了这一点吗？我们能确保没引入一些想要的属性或蕴涵，而导致了矛盾吗？P190

彭加勒在他的数学哲学中也抱怨道：“在以前，新的函数引进时，目的是为了应用它们。今天却恰恰相反，构造函数是为了证明前人的错误，而本身毫无半点用处。”

严密化工作揭示了数学创造的另一面。严密化满足了19世纪的需要，而最后的结果也告诉了我们关于数学发展的一些事实。新建立的严密结构也许保证了数学的正确性，但这一保证几乎毫无必要。算术、代数、欧式几何中没有一个定理因此而改变，而分析的定理只是比以前要更仔细地表述了。于是，想用一个连续函数的导数时必须假设其是可导的。事实上，所有的这些新的公理化结构和严密所做的无非是证明了数学家所知道的那些东西确实是那样的，确实，这些公理只能产生现存的这些定理而非其他。因为这些理论整体来说是正确的。所有的这些意味着数学并非建立在逻辑之上而是建立在健全的直觉之上。严密化正像阿达马指出的那样，仅仅是对直觉承认的东西加以确认，或者如魏尔所说，逻辑是数学家们想要保证思想健康和强壮的卫生手段。P193

到1900年，数学家们认识到他们不能再依赖于数学物理真实性来肯定它的相容性。P197

笛卡尔说过：“无穷可以被认知，但不能被理解。”P200

罗素本人并没有做这样的区分，他确信所有悖论都产生于一种他称之为恶性循环原理的谬误，他这样描述道，“凡涉及到一个集的整体的东西必不能是该集中的一部分”，换句话说，如果定义一组元素的集而又必须用到该全集自身，则这定义是毫无意义的。这个解释是罗素在1905年给出的，彭加勒在1906年接受了它，他还杜撰了“非断言定义”这一术语，即一个要定义的对象是用包含这个对象在内的一类对象来定义的，这种定义是不合逻辑的。P207

正如过去多次发生过的一样，数学家们先是无意识地使用了某条公理，后来才不仅意识到了正在使用它，而且还得去考虑接纳这样一条公理的基础。P210

真正的无限集是不是一个合理的概念？P216

莱布尼茨没有将由逻辑推出数学这一工作继续下去，在差不多200年的时间里，其他持有相同见解的人也没有做这件事，例如，戴德金直截了当地肯定，数不是由时间和空间的感觉得来，而是“一种纯粹思维规律的直接产物”。有了数，我们才有时间和空间的精确概念。他开始发展这一论点，但也没有继续下去。P217

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