数学：确定性的丧失（四） (5-3)

但是，由于无论q为真或假、p为假都蕴涵q，实质蕴涵也就允许一个错误的命题蕴涵任何命题。对于这一“缺陷”，有人会反驳说，在一个正确的逻辑系统和数学中，假命题是不应当出现的。不管怎么说，对实质蕴涵的概念一直存在反对意见。例如，彭加勒用这样的事例嘲笑它，说有些学生在考试中用错误命题得出了正确命题。但是，尽管在这一概念上还需做更大的努力，实质蕴涵现在成了一种规则，至少在符号逻辑中是作为数学基础使用的。P187

皮亚诺不仅将符号逻辑用于逻辑原理，而且用于数学公理的表达式，并且用符号逻辑原理操作符号公理进行定理的推导。他明确而坚定地认为，我们应当放弃直觉，而这只有用操作符号运算才能做到，符号避免了普通词语间直觉联系带来的危险。

从布尔、施罗德到皮尔斯、弗雷格，逻辑中的变革组成了数学方法的应用：符号系统和从逻辑公理中得到逻辑原理的推导证明。所有的这些关于形式逻辑或符号逻辑中的工作吸引了逻辑学家和数学家，因为符号的使用避免了心理上、认识上、形而上学的意义和暗示。P188

鉴于以后我们将涉及数学的逻辑结构，在这里让我们强调一点，数学和逻辑的严格化是首先由欧几里得通过公理途径达到的。这一方法的一些特色在19世纪的公理化运动中愈来愈清晰，让我们回顾一下它们。

首先是定义概念的必要性。因为数学独立于其他学科，所以定义也必须用其他的数学概念来说明。如此，这一过程将导致定义的无限循环。解决这一问题的方法是基本概念必须是不加定义的。那么怎么用它们呢？又怎么知道对于他们可以断言哪些事实呢？答案在于公理确定了未定义（已定义）概念，告诉我们什么可以判定。这样，如果点和线未定义，则两点确定一条直线的公理和三点确定一个平面的公理，可以用来推导关于点、线、面更进一步的结论。尽管亚里士多德在他的《工具论》、帕斯卡在他的《几何精神论》中，以及莱布尼茨在《单子论》中都强调了未定义概念的必要性，但数学家们还是忽视了这一事实，结果给出了许多毫无意义的定义。格高尼（Goseph-Diaz Gergonne）早在19世纪初即指出公理将告诉我们对未定义的概念可以做出什么样的结论；它们给出了所谓的隐含定义。知道1882年帕斯再一次强调未定义概念的必要性，数学家们才开始严肃地考虑这一问题。

任何演绎系统一定包括未定义概念，其能翻译成满足公理的含义，这一事实给数学家们引入了一个新层次的抽象。这一点早被格拉斯曼在他的《线性扩张论》（1884年）中提出。他指出几何当不同子物理空间的研究，几何是一个纯数学结构，可以运用于物理空间，但不拘于这一解释。后来，公理的研究者们：帕斯、皮亚诺和希尔伯特，强调了这种抽象性。虽然帕斯明白存在未定义概念且只有公理限制它们的意义，但他只在头脑中构造几何。皮亚诺洞悉帕斯的研究，在他1889年的文章中更清楚地认识到许多其他的解释也是可能的。希尔伯特在《几何基础》（1889年）中指出，虽然用的概念是点、线、面等，但如果它们遵从所涉及的公理的话，可以是啤酒杯、椅子或任何物体。演绎系统多种解释的可能性实际上是非常有益的，因为它允许更多的应用，但我们将发现它也引起一些令人困扰的结果。

帕斯通晓现代公理体系，他提出的观点的意义在19世纪末显然未被接受，即必须建立公理集合的相容性，也就是说，它们不会导致矛盾的定理。非欧几何中相容性问题曾出现，但已被满意地解决了。但是，非欧几何仍令人感到奇怪。对一些基本的分支，像整数理论或欧氏几何，任何关于相容性的疑问看上去是不切实际的。不管怎么说，帕斯认为这些公理系统的相容性应该建立起来，弗雷格附和他这一观点，他曾在《算术基础》（1884年）中写道：

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