数学：确定性的丧失（四） (5-2)

布尔的工作无疑是受到皮科克、格雷戈里和笛·摩根代数观点的启发。虽然他们的型的永恒性原理并不能真的证明代表实数、复数的文字系数的算术运算的正确性，但他们可能是无意识地采纳了这样一个新的代数观点，即符号和运算可用来表示任何事物，并且哈密尔顿在四元数上的工作（1843年）也的确表明，其他的代数也是可能的。布尔1848年在一篇文章中综述了他称之为算子演算的代数推理。注意到这样一种观点，即代数不只是处理数，且代数的定律也不一定是实数和复数的定律。在他的《逻辑的数学分析》（1847年）的开篇他讲到这一点，并提出了一门逻辑代数。他的主要著作是《思想规律的研究》（1854年）。布尔的主要观点没有莱布尼茨的野心勃勃，但更贴近于莱布尼茨的推理演算，即现存的推理规则可以由符号形式来表达，这样可以严密化并促进现存逻辑的应用。在他的书中，他这样叙述道：

下列论文的目的是为了研究思维运算的基本规则，推理正是依据这些规则而完成的。给出演算的符号语言表示式，并在此基础上建立逻辑科学和构造它的方法。

布尔也考虑了在思维中的特殊应用，例如，概率律。

符号化使科学家们受益无穷。在证明过程中，人们可能由于无意识地引入了并非自己所指的意义或使用了不正确的演绎原理而出现错误。P182

弗雷格还将一个更广泛的蕴涵概念，称为实质蕴含形式化，它的字面形式上的表达将追溯到墨伽拉的菲罗（Philo of Megara）。逻辑处理关于命题和命题函数的推理，这一过程中蕴涵是最重要的。如，我们知道约翰是一个聪明的人，而聪明的人长寿，那么可以推导出这样的蕴涵：约翰将长寿。

实质蕴涵与通常使用的蕴涵有所不同。当我们假定，如，“如果下雨，我将去看电影”，两个命题间不仅有一定的关系，而且是蕴涵关系。即若前提“天下雨”成立，则结论“我去看电影”必然成立。而实质蕴涵的概念允许p和q，即前提和结论，可以为任何命题。命题之间不必存在因果关系或其他任何联系。可以这样说“如果x是一个偶数，我就去看电影。”而且，实质蕴涵允许甚至当x是一个偶数为假时，结果也成立。即“若x不是偶数时，我们将去看电影。”更进一步，它允许蕴涵“若x不是偶数时，我将不去看电影”。这个蕴涵仅当x为偶数而我没有去看电影时为假。

从形式上来说，若p和q均是命题，若p为真，蕴涵“p蕴涵q”当然意味着q为真。但是，实质蕴涵允许，其至p为假时，无论q真假与否，蕴涵“p蕴涵q”都是真的。只有当p为真而q为假时，这一蕴涵为假。这一蕴涵观点是通常意义的延伸。不过这一延伸并不造成任何伤害，因为我们只有当知道p为真时，才用“p蕴涵q”，而且，实质蕴含同日常用法有某些相通之处。考虑这一论断：“若哈罗德今天发工资，他将购买食品”。这里，p是哈罗德今天发工资，q是他购买食品。现在他可能仍在购买食品，即使他今天没有发工资。因此，我们把p为假q为真的情况纳入合理蕴涵，当然，这一结论不为假，相似地有，“若哈罗德今天没有发工资，他将不购买食品”也不是假命题。作为另一个，最后一种情况的最好例子，莫若“若木头是金属，则木头是可锻造的。”我们知道两个命题都是假的，而蕴涵是真的。因此，我们把p为假而q为假的这种情况也包含在作为p蕴涵q的正确情况。概念的重要应用是能从p的真实性以及p蕴涵q的蕴涵中判断q，当p为假时的扩展在符号逻辑中是方便的，且最有效的。

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