数学：确定性的丧失（四） (5-1)

柯西，最伟大的数学家之一，在19世纪初创立了复变函数理论，也不同意把表达式α＋b√–1 当作数。在他的名著《分析教程》（1821年）中，柯西认为将这些表达式作为一个整体是毫无意义的。然而，它们还是说明了实数a、b的一些情况。例如，由方程 α＋b√–1＝c＋d√–1 ，可推出a=c，b=d，“每一个虚数方程仅仅是两个实数方程的符号表达式”。1847年，晚年的柯西又提出了一个相当复杂的理论，可以用来判断用复数进行运算是否正确。但没有使用 √–1 ，对此，他说：“我们可以毫无遗憾地完全否定和抛弃一个我们不知道它表示什么，也不知道应该让它表示什么的数。”P153

换句话说，数学家们是在贡献概念而不是从现实世界中抽象出思想，究其成因，他们是将感性知识转变为理性知识。由于这些概念被证明越来越实用，数学家们起初还忸怩作态，后来就变得肆无忌惮了，久而久之，人们也就认为这是无可指责且理所当然的了。从1700年起，越俩越多的从自然中提取和在人思想中产生的观念进入数学领域并几乎被毫不怀疑地接受，由此引起的不良后果终于促使数学家们不得不从现实世界之上去审视他们的这门学科。

因为他们没有认识到新概念特征的变化，他们也没有认识到他们所需要的是公理化发展的基础，而不是那些自明的真理。当然，新概念要比旧概念精致得多，而且就我们目前所了解的情况看，合适的公理基础并不容易建立。

那么，数学家们如何知道他们该往何处去呢？同时，考虑到他们的证明传统，他们怎么敢只用规则就能保证结论的可靠性呢？毫无疑问，解决物理问题就是他们的目标，一旦物理问题被数学公式化后，就可利用精湛的技巧，从而新的方法和结论就出现了。数学公式的物理意义引导着数学的步骤，也经常给数学步骤提供部分论据，这个过程在原理上同一个几何定理的论证没有什么差别。在证明几何定理时，对图形中一些显而易见的事实，尽管没有公理或定理支持它们，还是被利用了。P166

到1800年，较之于逻辑合理性，数学家们更热衷于结果的确定性。P168

他们认识到数学并不像过去所认为的是推理的典范，不过是用直觉，几何图形，特别是形的永恒性原理之类的原理和求助于被证明可以接受的形而上学来取代推力而已。P169

这样，借助魏尔斯特拉斯的工作，戴德金和康托尔终于证明出√2√3＝√6 。P177

帕斯卡说过“所有超越了几何的都超越了我们的理解力”，1900年时，数学家们更愿意说：“所有超越了算术的都超出了我们的理解力”。

两千多年来，被数学家们占据了一席之地的知识界一直接受亚里士多德的逻辑。不错，对一切信仰及教条提出质疑的笛卡尔确实提出过我们总能知道逻辑原理是否正确这一问题。他的回答是，上帝不会欺骗我们。这样，他就为我们拥有这些原理的正确性找到了一个合理的辩护。P180

虽然到1900年，大多数的数学家们仍继续用符合非正规的口头表述的亚里士多德的原理来进行推理，但他们也开始用一些其他并未被亚里士多德接受的原理。他们并未严格检验自己的逻辑原理，而是自认为他们使用的是合理的推理逻辑，实际上，他们使用的原理直觉上是合理的，但并不是准确的逻辑原理。

当大多数的科学家全神贯注于数学的严格化时，有一部分人开始探讨当时所使用的逻辑。下一个大的发展当归功于布尔（George Boole），一位爱尔兰科克王后学院的数学教授。

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