数学：确定性的丧失（三） (5-4)

─＝───── （2）

h h

幸运的是，费马用了这样一个简单的函数而且认为可以在上式右边分子、分母同除以h，这样就得到了：

k

─＝128＋16h （3）

h

然后，他令h=0，得到：

·d＝128

作为第四秒时的下落速度（符号 ·d 是牛顿发明的）。这里的 ·d 就是函数 d＝16t² 在t=4秒时的导数。

推导的问题在于：开始，h不为零，所以才能进行分子、分母同除以h的运算，即前式只有在h ≠ 0 时才正确，这样就不能令h=0而得出结论。而且，对于 d＝16t² 这样简单的函数，（2）式可以简化为（3），而对于更复杂的函数，我们只能导出类似于（2）式的结果，这样，当h=0时，k/h就是0/0，这是没有意义的。P127

在1689年刊于《教师学报》的一篇文章里，莱布尼茨说无穷小量不是真实的数，而是假想的数，但是，他宣称这些假想的或理想的数服从于通常的规律。P134

到这时为止，莱布尼茨表明他的微积分只用到通常的数学概念，但是由于无法使他的批评者满意，他提出了一个称为连续性原理的哲学原理。这个原理实际上和开普勒早已阐述过的几乎一样。在莱布尼茨研究微积分学的早期，1678年3月19日给H·康林（Herman Conring）的一封信中说，这个原理断言：“如果一个变量一直具有某一性质，则其极限也具有同一性质。”

在1687年给培尔（Pierre Bayle）的一封信中，莱布尼茨更充分地表述了这个原理：“在任何假定的向任何终点的过渡中，允许制定一个普遍的推论，使最后的终点也可以包括进去。”P135

当然，他说，绝对相等的东西总有一个绝对是无的差别：

然而，一个过渡的状态或者一个消失的状态是可以设想的，其中实际上仍然没有出现完全的相等或静止，……而是进入这样一种状态，即差小于任何给定的量，在这种状态下，还得留一些差，一些速度，一些角度，但他们每个都是无穷小。……

是否这样一个从不等到相等的瞬间过渡……能够保持在严密的或者形而上学的意义中呢？或者无穷大的扩展会越来越大，或者无穷小的扩展会越来越小，这是合法的考虑吗？目前，我承认这可能尚未解决。……

如果当我们说到无穷大（或者更严格些说，无限制的大）或者无穷小量（即在我们的知识中是最小的）时，就理解为我们意味着无限大的或者无穷小的量，即要多大就多大，要多小就多小，使得任何人得到的误差可以小于某个指定的量，那就足够了。

在这些假定下，我们在1684年10月的《教师学报》中列出的算法的全部规则，都能够不太麻烦地予以证明。

P136

莱布尼茨虽然比牛顿对批评敏感，但却不如牛顿严谨，莱布尼茨认为对他的做法最终验证取决于其有效性。他强调他所创造出的东西的程序性或算法上的价值，在某种程度上，他确信只要他能清楚地表述并且恰当地运用他的运算法则，就可以获得合理的，正确的结果，而不论所涉及的概念的意义是多么模糊。他就像笛卡尔一样地富有远见卓识，他看到了新思想的深层内涵，毫不迟疑地认为一门新科学即将诞生。P137

拉格朗日批评牛顿的方法时指出：关于弦与弧的极限比，牛顿认为弦与弧不是在它们消失前或消失后相等，而是当它们消失时相等。拉格朗日正确地说明：

此方法有很大不便，即它把所考虑的量不再是量的状态下，仍看作是量。因为对两个量，只要它们还保持有限，就总可以适当地构想出它们的比，可一旦它们都变为无，这个比在我们脑海里就不再提供任何清晰而明确的想法了。P146

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