数学：确定性的丧失（三） (5-3)

由于在证明几何图形的问题中，当有理数行不通时，无理数取而代之，并且完全证明了有理数所不能证明的结果，……因此我们感到不得不承认它们的确是数，也就是由于使用它们而得到的结果迫使我们必须承认，这些结果在我们看来是真实、可靠和恒定的。另一方面，别的一些考虑又迫使我们全然否定无理数是数。也就是说，当我们想把它们数出来（用十进制小数的形式）时，……却发现它们无止境地往远跑，使我们没有办法准确地捕捉住任何一个无理数本身。……而本身缺乏准确性的特点，使之不能被称作真正的数。……因此，正如无穷大不是数一样，无理数也不是真正的数，而是隐藏在一种迷雾后面的东西。P110

卡丹给出了方程的负数根，但认为是不可能的解，而仅仅是一些记号。他把负数根称为虚构的，正根称为真实的。

庞贝利假定在实数和直线上（给定单位长度）的长度存在着一一对应关系，他还定义了长度的四则基本运算，他认为实数及其运算已通过这些长度及对应的几何运算进行了定义。这样一来，实数体系就在一个几何的基础上合理化了。斯蒂芬也把实数看作是长度，他相信，通过这样的解释，无理数的困难也可以迎刃而解了。P112

在欧拉的《对代数的完整介绍》（1770年）一书中，他证明了减-b的运算等于加b运算，因为“免除负债即意味着奉送礼物”。他还证明了(-1)×(-1)=+1，因为其积必为+1或-1，而他已经指明1×(-1)=-1，那么(-1)×(-1)必为+1。P115

尽管以往曾有人零星和偶然地用到了字母，但韦达是第一个有意识地系统地使用字母的人，字母的主要的新用途不仅是用于表示未知量或未知量的幂，而且用以表示一般的系数。

韦达将其新型的代数叫做类型计算，以区别于数字计算，他完全清楚当他研究一般二次方程αx²＋bx＋c＝0 时，他所处理的是整个一类的表达式。在他的《分析艺术引论》（1591年）中区分类型计算和数学计算时，韦达划分了算术与代数的界限。P119

第二个将代数推向前台的创举是运用代数公式表示函数，正如我们所知的那样，伽利略引入了用公式描述物体运动的思想。P120

直到1750年，人们才得以放心大胆地运用代数。此时，代数已是一棵枝繁叶茂的大树，但它却没有根。数系和代数学的发展形成了鲜明的对比，几何学是公元前300年前用演绎的方法建立起来的，后面我们将看到几何中的几个瑕疵也易于纠正。但算术与代数学却怎么也找不到逻辑基础，这样看来，缺少逻辑基础，势必会困扰所有的数学家。P122

到17世纪末，数和代数学已被认为是独立于几何而存在的。数学家们为什么没有致力于逻辑上的发展呢？既然有像欧几里得《原本》中所包含的几何的演绎推导结构这样的样本，那么，数学家们又为什么没有发展一个数和代数的演绎推导结构呢？这是因为几何的概念、公理和原理从直观上看，远比算术和代数的易于接受，画图（在几何中称为作图）可辅助解释结构。但无理数、负数和复数的概念却微妙得多，即使可以得到图形，也无法解释数字作为数和建立于数系基础上的字母表示法的逻辑结构。P123

这些表达式，尤其是最后被大家所接受的那个，应归功于费马。下面我们计算一个下落的小球在第四秒时的速度。这个小球的运动状态可用：

d＝16t²

描述。当t=4时，d＝16 × 4²＝256 ，设任意一个时间增量是h，在第(4+h)秒时，小球会下降256英尺加上距离增量k，有

256＋k＝16(4＋h)²＝16(16＋8h＋h²)

或

256＋k＝256＋128h＋16h²

两边都减去256，得：

k＝128h＋16h²

在时间h秒内的平均速度为：

k 128h＋16h²

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