数学中的世界观——一个宏大的世界（一） (5-3)

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好算

就是好比一座桥梁，你从A端能到B端，从B端也能到A端。但是这个桥是不对称的，你从A端到B端一秒钟就到了，但你从B端到A端却需要个猴年马月。这就导致，我发送者只需要从A端到B端，但你中间想破解密码的人就得从B端到A端，我知道你肯定能到，但等你到了，你人早就没了。

计算机想要生成一对密钥，特别简单，只需要找两个很大的素数相乘就行了（从A端到B端）。

这就是RSA算法很妙的地方。

顺便说一下，数学家哈代的那句话，和20世纪初威廉爵士在物理学大会上说的那句话很像，他说“现在的物理学大厦已经基本完备，后辈只需要做一些修补的工作就可以了。除了盘旋在物理学上空的两座乌云（黑体辐射问题和光速不变问题）以外，一切都已经很美好了。”结果话音刚落，这两朵乌云，一朵（黑体辐射）催生出了量子力学，一朵（光速不变问题）催生出了相对论，传统物理学的大厦轰然倒塌。

所以，很多时候你站在当时的时代的角度，你很难说什么有用什么没用，你以为没用的东西，也许未来会有大用，你以为已经完备的体系，也许在未来会轰然倒塌。这就是数学和自然科学的魅力吧。

光辉伴随的影子——三次数学危机

人的纯理性思辨的逻辑有没有漏洞？答案是有的。1+1=2；a-＞b, b-＞c, 所以a-＞c，像类似这种体系，它是有过漏洞的。

第一次数学危机

第一次数学危机是无理数的发现。当时毕达哥拉斯学派如日中天，发现了很多定理。毕达哥拉斯认为所有数都是可以写成分数的，就是一个整数除以一个整数的形式，但是有一个人发现了一个直角边长为1的直角三角形，它的斜边√2 ，这个数字没办法写成分数。然后他就被毕达哥拉斯学派的人扔到水里淹死了。

这就是第一次数学危机。很多时候，在革命前夜，那个打破秩序的人，常常会受到惩罚。但他们，却是下一个时代的英雄，被永世歌颂。

后来人们发明了无理数，解决了这个问题。无理数和有理数加起来，是实数。实数可以表示所有数轴上的数字，总之你看得见的有长度的东西，都可以用有理数表示。

第二次数学危机

第二次数学危机是关于微积分的。当时牛顿和莱布尼茨各自独立发明了微积分，但是微积分里的那个无穷小，人们没研究明白，出现了一些悖论。无穷小到底是不是零？如果是零，那么导数定义当中的除数怎么可能是无穷小（零）？如果不是零，那么积分之后的那个误差项还是存在的，积分怎么可能正确无误？我只是随便描述了一下，事实肯定比这个要复杂。

后来人们发明了极限的定义，柯西首先发明了极限定义，然后维尔斯特拉斯完善了极限定义，后来一些人加以完善。于是把问题解决了。

第三次数学危机

第三次数学危机是关于集合论的。这里有个有趣的故事，集合论的创始人康托在写他的集合论的著作的时候，都已经快写完了，然后收到了罗素发来的一封信，指出了集合论的漏洞。康托后来调侃说，最让人觉得厌烦的事情，莫过于你已经快要建好一座大厦，然后有个人突然给这个大厦来个致命一击，让这个大厦坍塌。

罗素指出的这个漏洞，叫罗素悖论，它有个比较通俗的描述，叫理发师悖论，是这样的，一个理发师给小镇上的人说，我只给那些不自己刮胡子的人刮胡子。那么，他应不应该给自己刮胡子呢？如果他不给自己刮胡子，那么他就是那个“不给自己刮胡子”的人，他就应该给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，他就不是“不给自己刮胡子”的人，他就应该给自己刮胡子。这就是个悖论。

后来，康托完善了集合论，增加了八项前置条件，让悖论这种情况不再发生。

数学的“魅影”——虚数

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