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数学中的世界观——一个宏大的世界(一) (5-3)

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好算

就是好比一座桥梁,你从A端能到B端,从B端也能到A端。但是这个桥是不对称的,你从A端到B端一秒钟就到了,但你从B端到A端却需要个猴年马月。这就导致,我发送者只需要从A端到B端,但你中间想破解密码的人就得从B端到A端,我知道你肯定能到,但等你到了,你人早就没了。

计算机想要生成一对密钥,特别简单,只需要找两个很大的素数相乘就行了(从A端到B端)。

这就是RSA算法很妙的地方。

顺便说一下,数学家哈代的那句话,和20世纪初威廉爵士在物理学大会上说的那句话很像,他说“现在的物理学大厦已经基本完备,后辈只需要做一些修补的工作就可以了。除了盘旋在物理学上空的两座乌云(黑体辐射问题和光速不变问题)以外,一切都已经很美好了。”结果话音刚落,这两朵乌云,一朵(黑体辐射)催生出了量子力学,一朵(光速不变问题)催生出了相对论,传统物理学的大厦轰然倒塌。

所以,很多时候你站在当时的时代的角度,你很难说什么有用什么没用,你以为没用的东西,也许未来会有大用,你以为已经完备的体系,也许在未来会轰然倒塌。这就是数学和自然科学的魅力吧。

光辉伴随的影子——三次数学危机

人的纯理性思辨的逻辑有没有漏洞?答案是有的。1+1=2;a->b, b->c, 所以a->c,像类似这种体系,它是有过漏洞的。

第一次数学危机

第一次数学危机是无理数的发现。当时毕达哥拉斯学派如日中天,发现了很多定理。毕达哥拉斯认为所有数都是可以写成分数的,就是一个整数除以一个整数的形式,但是有一个人发现了一个直角边长为1的直角三角形,它的斜边√2 ,这个数字没办法写成分数。然后他就被毕达哥拉斯学派的人扔到水里淹死了。

这就是第一次数学危机。很多时候,在革命前夜,那个打破秩序的人,常常会受到惩罚。但他们,却是下一个时代的英雄,被永世歌颂。

后来人们发明了无理数,解决了这个问题。无理数和有理数加起来,是实数。实数可以表示所有数轴上的数字,总之你看得见的有长度的东西,都可以用有理数表示。

第二次数学危机

第二次数学危机是关于微积分的。当时牛顿和莱布尼茨各自独立发明了微积分,但是微积分里的那个无穷小,人们没研究明白,出现了一些悖论。无穷小到底是不是零?如果是零,那么导数定义当中的除数怎么可能是无穷小(零)?如果不是零,那么积分之后的那个误差项还是存在的,积分怎么可能正确无误?我只是随便描述了一下,事实肯定比这个要复杂。

后来人们发明了极限的定义,柯西首先发明了极限定义,然后维尔斯特拉斯完善了极限定义,后来一些人加以完善。于是把问题解决了。

第三次数学危机

第三次数学危机是关于集合论的。这里有个有趣的故事,集合论的创始人康托在写他的集合论的著作的时候,都已经快写完了,然后收到了罗素发来的一封信,指出了集合论的漏洞。康托后来调侃说,最让人觉得厌烦的事情,莫过于你已经快要建好一座大厦,然后有个人突然给这个大厦来个致命一击,让这个大厦坍塌。

罗素指出的这个漏洞,叫罗素悖论,它有个比较通俗的描述,叫理发师悖论,是这样的,一个理发师给小镇上的人说,我只给那些不自己刮胡子的人刮胡子。那么,他应不应该给自己刮胡子呢?如果他不给自己刮胡子,那么他就是那个“不给自己刮胡子”的人,他就应该给自己刮胡子;如果他不给自己刮胡子,他就不是“不给自己刮胡子”的人,他就应该给自己刮胡子。这就是个悖论。

后来,康托完善了集合论,增加了八项前置条件,让悖论这种情况不再发生。

数学的“魅影”——虚数

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