数学中的世界观——一个宏大的世界（一） (5-4)

虚数这个东西的出现是个很有意思的事情。我们在教材中学到的虚数是来自于解一元二次方程问题，比如x²＝–1 这种方程，没有实数解，于是为了让它仍然有两个解，就发明了虚数。但这种操作其实非常的鸡肋：你没有实数解就没有吧，还非得给它搞个解？但历史上真正的虚数的来源是一元三次方程。人们当时发现了一元三次方程的求根公式：

一元三次方程都可化为x³+px+q=0。它的解是：

q q p

x₁＝³√ – ─＋√(─)²＋(─)³ ↓

2 2 3

q q p

＋³√ – ─ – √(─)²＋(─)³ ←

2 2 3

q q p

x₂＝ω ³√ – ─＋√(─)²＋(─)³ ↓

2 2 3

q q p

＋ω² ³√ – ─ – √(─)²＋(─)³

2 2 3

q q p

x₃＝ω² ³√ – ─＋√(─)²＋(─)³

2 2 2

q q p

＋ω ³√ – ─ – √(─)²＋(─)³

2 2 2

–1＋√3i

其中ω＝──── .

2

这看起来没啥问题。但有的一元三次方程它有实数解，但它的实数解当中却出现了虚数，比如有的解是这种的：x＝5√–2＋3 – 5√–2 这种，就是它解是实数，但中间却出现了虚数。人们对此感到很头疼，好比一个本来存在的东西，中间过程却出现了一个不存在的东西，就好像鬼魅一样。当时欧拉对此也是比较头疼。后来人们不得不发明了虚数这个东西，建立了相关的体系，才接受了这个事情。

数学的“鬼才”——四元数

你怎么表示三维空间中的旋转？很简单，用一个三维的向量，左乘一个三维的矩阵，就得到另一个三维的向量。或者说，一个方向，绕x轴旋转一个角度，再绕y轴旋转一个角度，再绕z轴旋转一个角度，就得到一个新的方向。但是这么干有个问题，就是会出现“万向节死锁”的现象，就是当你绕着一个轴旋转90度的时候，就会跟另一个轴重合，这样整个空间中就只有2个轴了，不能表示所有的旋转了。

迅捷GIF

环面y绿色

▶圆环x红色

L▶圆环z蓝色

让我们来撤销这里，然后将所有轴向同时旋转lats撤消此操作并旋转所有轴一次

怎么办呢？数学家哈密顿发明了个东西，叫四元数。就是你不要在三维空间中旋转，你把三维向量升级为四维向量，放到四维空间中去旋转，然后旋转完了再放回到三维向量。这样就没有这种“万向节死锁”的问题了，因为四维空间可以克服这个问题。三维空间中的旋转，和四维空间中的旋转，有个一一对应的关系。

当时人们不理解这种操作，觉得这个四元数是“邪恶的数字”。但在哈密顿死后的很多年后，计算机出来了，后来计算机能渲染三维空间的模型了，然后人们发现三维空间中的旋转有万向节死锁的问题，并且不好解决，还有其它一些不好表示的问题，然后人们发现引入四元数可以完美地解决这个问题。现在四元数已经成为了一个普遍的方案。

所以说，一个东西可能要等到属于它的时代，才能释放出它的光芒。

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