反证法

数学思想

以下是正文：

反证法是一种间接证法，它不直接证明命题为真，而是先假设原命题为假，通过推出矛盾，从而推定原命题为真的证明方法。

〖例1〗证明：函数y＝cos√x不是周期函数。

含有“不是”字样，典型的反证法题型。

【证明】

假设函数y＝cos√x不是周期函数

即存在T≠0，使cos√（x+T）＝cos√x

令x＝0，得T＝4k²π²

不妨设k＞0，令x＝4π²，得：

√（4π²+4k²π²）＝2mπ（m∈Z）

所以√（1+k²）＝m（m∈Z）

但是当k＞0时，k＜√（1+k²）＜k+1，因此√（1+k²）不是整数，矛盾。

假设不成立，故cos√x不是周期函数。

〖例2〗求证：√2是无理数。

因为无理数的定义是“不能写成p/q形式的数”，含有“不能”字样，可以考虑用反证法进行证明。

【证明】

假设√2不是无理数。

则√2是有理数或虚数。

（√2）²＝2＞0，√2不是虚数。

所以√2是有理数，设√2＝p/q

其中，p,q∈Z且p,q互质。

若q＝1，则p＝√2，此时p不为整数。

若q＞1，由√2＝p/q得：

2＝p²/q²

p²＝2q²

∵q为整数

∴q²为整数

∴p²为2的倍数

∵p为整数

∴p为2的倍数

令p＝2k（k∈Z）得：

4k²＝2q²

∴2q²为4的倍数

∴q²为2的倍数

∴q为2的倍数

∴p,q有公因数2‬

这与“p,q互质”矛盾，假设不成立，故√2不是有理数。

故√2为无理数。

〖例3〗

若p＞0，q＞0，p³+q³＝2，证明：p+q≤2.

此题直接由条件证明p+q≤2比较难，因此用反证法进行证明。

【证明】

假设p+q＞2

∵p＞0，q＞0

∴（p+q）³＝p³+3p²q+3pq²+q³＞8

又∵p³+q³＝2

∴3p²q+3pq²＞6

∴3pq（p+q）＞6

∴pq（p+q）＞2

∵p³+q³＝2

∴（p+q）（p²-pq+q²）＝2

∴pq（p+q）＞（p+q）（p²-pq+q²）

∵p+q＞2＞0

∴pq＞p²-pq+q²

∴（p-q）²＜0

这显然不可能，矛盾。

假设不成立，故p+q≤2。

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