计数原理

数学思想

以下是正文：

〖分类计数原理〗

完成一件事有n种不同的方案，在第一类方案中有a种不同的方法，在第二类方案中有b种不同的方法，……，在第n类方案中有θ种不同的方法。

则 完成这件事情，共有N＝a+b+…+θ种方法。

每种方法都行，算出总数就行，故相加即可。

〖分步计数原理〗

完成一件事有n个不同的步骤，在第一个步骤中有a种不同的方法，在第二个步骤中有b种不同的方法，……，在第n个步骤中有θ种不同的方法。

则 完成这件事情，共有N＝a×b×…×θ种方法。

每个步骤都要进行，比如第一步有3种方法，第二步有4种方法，那在第一步时，每种方法都要对应第二步的四种方法，由乘法的定义知，此类情况应当用乘法。

【例1】小明要去修课，可从文化课、理工课、艺术课中选择一门课进行修炼。其中文化课有4门，理工课有2门，艺术课有3门。问小明有几种选择。

易知本题符合“分类计数原理”的模型，要用加法，故N＝4+2+3＝9。

【例2】A,B,C,D四个人选课，每人都可以从语文、数学、英语中选择一门课。问有几种选课的方法。

本题可理解为：A先从三门课中选择一门课，然后B从三门课中选择一门课，……，符合“分步计数原理”的模型，要用乘法，故N＝4×3＝12。

【例3】0,4,6,7这四个数字，能组成多少种不同的四位数？

先考虑最高位，只能从4,6,7中进行选择，有3种选法。再考虑后面三位，每一位都有4种选法。故N＝3×4×4×4＝192。

〖练习题〗

【1】小明要从A地出发，途经B地和C地，最终到达D地。其中，从A到B有3种走法，从B到C有4种走法，从C到D有2种走法。问 小明从A到D有几种走法？

【2】小明要吃饭，可以选择去饭店吃，可以选择点外卖，也可以选择自己做饭。其中，若去饭店吃饭则有4种饭可供选择，若点外卖则有5种饭可供选择，他自己会做2种饭。问 小明有几种选择？

【3】1,2,3,7最多组成几种不同的四位数？

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