数学联邦政治世界观
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数形结合

数学思想

以下是正文:

数形结合主要是运用数的严谨和形的直观,将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来,使抽象思维和图形语言结合起来,使抽象思维和形象思维相结合,通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。

〖例1〗求y=|x-3|+|2-x|的最小值。

在数轴上,|x-3|表示x与3的距离,|2-x|表示2与x的距离,二者相加表示距离之和。

• x在3的右边时:

• x在2和3之间时:

x在2的左边时:

显然,x在2和3之间时,距离之和最小,最小值为2到3的距离1。

故y=|x-3|+|2-x|的最小值为1。

〖例2〗求y=【√(x-3)²+(y-4)²】+【√(x-5)²+(y-12)²】的最小值。

在坐标系中,【√(x-3)²+(y-4)²】表示坐标P(x,y)到坐标A(3,4)的距离,【√(x-5)²+(y-12)²】表示坐标P(x,y)到坐标B(5,12)的距离,故本题相当于求P(x,y)到A,B两点距离之和的最小值。

其中,P点可随意选取。

由“两点之间,线段最短”知,P点位于AB上时,距离之和最小。

此时的距离就是线段AB的长度。

d=【√(5-3)²+(12-4)²】=2√17

故求y=【√(x-3)²+(y-4)²】+【√(x-5)²+(y-12)²】的最小值为2√17。

〖例3〗已知x²-ax-4≥0恒成立,求a的取值范围。

不妨设y=x²-ax-4,因为1>0,所以抛物线图像为开口向上,

显然函数与x轴无交点,即x²-ax-4=0没有实数根。

由韦达定理得,(-a)²-4×1×(-4)<0

解,得-4<a<4

故a的取值范围为(-4,4)

先将方程、不等式等看成函数,通过观察函数图像来分析参数之间满足的关系,是数形结合中非常常见的基本思维,需要掌握。

〖举一反三〗

【1】求y=|3-2x|-|x-3|的最大值。

【2】求y=【√(x-1)²+(y-3)²】+【√(x-2)²+√(y-5)²】的最小值。

【3】已知ln(3x) -x+a>0恒成立,求a的取值范围。

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