中心极限定理（重点之一）三 (2-1)

5 多维中心极限定理

CLT不仅可以应对一维的随机变量，也可以应对多维的随机变量。对于可测的（measurable）X：Ω → ℝᵏ ， X＝(X₁，. . .，Xₖ)，Xⱼ：Ω → ℝ 叫作一个 k 维随机变量。 k 维随机变量的依分布收敛的定义如下。

定义 5.1 令 Xₙ 和 X 为 k 维随机变量. 若对于任意有界连续函数 f：ℝᵏ → ℝ ，都有 𝔼[f(Xₙ)] → 𝔼[f(x)]，则称 Xₙ 依分布收敛于 X ，写作

D

Xₙ → X .

k 维随机变量的多维特征函数（multivariate characteristic function）的定义如下。

定义 5.2 一个 k 维随机变量 X 的多维特征函数是

ₖ

ф(t)＝𝔼[exp(it · x)]＝𝔼[exp(i∑tⱼXⱼ)]

ⱼ₌₁

这里 t＝(t₁，. . .，tₖ) .

令μ 为定义在 ℝᵏ 的博雷尔集（Borel set）上的概率测度（probability measure）。多维情况下的逆公式表达如下：对于长方形（rectangle） U＝(α₁，b₁] × · · · × (αₖ，bₖ] ，若 μ(∂U)＝0 ，则

1

μ(U)＝lim ─── ∫ᵀ₋ᴛ

T→∞ (2π)ᵏ

ₖ e⁻ⁱαⱼᵗⱼ – e⁻ⁱᵇⱼᵗⱼ

(∏ ───────)

ⱼ₌₁ itⱼ

ф(t₁，· · ·tₖ) dt₁ · · · dtₖ

对于独立的随机向量X 和 Y ， фx＋ʏ(t)＝фx(t)фʏ(t) 仍成立。我们仍有类似于连续性定理的结论：当且仅当 фₙ(t) → ф(t)∀t ∈ ℝᵏ ，

D

Xₙ → X 。

D

这意味着 Xₙ → X 等价于

ₖ D ₖ

∑tⱼXⱼₙ → ∑ tⱼXⱼ∀t₁，· · ·，tₖ 。

ₖ₌₁ ₖ₌₁

我们用多维特征函数定义多维正态分布（multivariate normal distribution）。

定义 5.3 如果存在向量 μ 和正定（positive definite）矩阵 Σ ，使得随机向量 X 的多维特征函数是

1

ф(t)＝eⁱμ⊤t – ─ t⊤Σt ，

2

那么 X 叫作一个多维正态分布向量，写作 X ∼ N(μ，Σ) .

根据上述定义，标准多维正态分布向量Z ∼ N(0，1) 的多维特征函数是 фᴢ(t)＝e⁻||ᵗ||²/² 。若用PDF为

1

fᴢ(x)＝──── e⁻||ˣ||²/²

(2π)ᵏ/²

的随机向量定义标准多维正态分布向量，则多维正态分布向量还可以被定义为形如X＝μ＋AZ 的随机向量。这里 X 的均值为 μ ，协方差矩阵（Covariance matrix）为 Σ＝AA⊤ 。若 det(Σ)＞0 ，则 A⁻¹ 存在。若假设 μ＝0 ，则 X 的PDF是

1

f(x)＝────── e⁻||ᴬ⁻¹ˣ||²/²↓

(2π)ᵏ/²| det(A)|

1

＝─────── e⁻ˣ⊤Σx/2

(2π)ᵏ/² det(Σ)¹/²

多维CLT是经典CLT的一个类比。

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