中心极限定理（重点之一）三 (2-2)

定理 5.4（多维CLT）令 Xₙ＝(Xₙ₁，· · ·，Xₙₖ) 为均质为 μ ，二阶矩（second moment）有限的i.i.d随机向量. 令 Sₙ＝X₁＋· · · Xₙ . 那么

Sₙ – nμ D

──── → N(0，Σ)

√n

这里 Σ＝Cov(X₁)＝𝔼[X₁X₁⊤] – μμ⊤ .

证明 不失一般性地假设 μ＝0 ，并令 t ∈ ℝᵏ . 那么 Wₙ＝t⊤Xₙ 为均值为 0 ，方差为 σ²＝t⊤Σt 的独立随机变量. 根据经典CLT，我们有

D

Sₙᵂ/√n → σZ，这里 Sₙᵂ＝t⊤Sₙ . 令 Y ∼ N(0，Σ) ，那么 t⊤Y ∼ N(0，σ²) .

D

由于 t⊤Sₙ/√n → t⊤Y∀t ∈ ℝᵏ ，根据连续性定理的多维类比，

D

Sₙ/√n → Y .

多维CLT的一个应用是：若一个多项分布（multinomial distribution）向量Sₙ＝(S₁(n)，· · ·，Sₖ(n)) 为重复 n 次的多项实验观察到的结果，我们有

ₖ (Sⱼ(n) – npⱼ)² D

∑ ────── → Z²₁＋· · ·＋Z²ₖ₋₁

ⱼ₌₁ npⱼ

这里Z₁，· · ·，Zₖ₋₁ 是标准正态分布变量。这是卡方拟合检验（Chi-square goodness of fit test）的基础。

这样我们完成了对独立随机变量的中心极限定理的介绍。经典CLT的条件最严格，而从李雅普诺夫版本到林德伯格版本越来越弱。事实上，有弱非独立性（dependence）的随机变量也有属于它们的CLT，比如强混合过程（strong mixing process）和鞅（martingale）。中心极限定理的理论基础，确保了我们可以在实际应用中可以享受它带来的便利。

参考文献：

[1] Billingsley, P. (1986).Probability and Measure. Wiley.

[2] Ash, R. B. (2000).Probability and measure theory.

[3] Resnick, S. I. (1999). A probability Path.

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