数学联邦政治世界观
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中心极限定理(重点之一)二 (4-1)

3 林德伯格中心极限定理

林德伯格中心极限定理(Lindeberg's CLT)又叫作Lindeberg-Feller CLT,它弱化了经典CLT的i.i.d条件。在此定理中,我们考虑随机变量的三角数组(triangular array)Xₙ₁,· · ·,Xₙᵣₙ ,它们对于任意固定 n 都是独立的,且

rₙ → ∞ 。

n→∞

令 Sₙ=Xₙ₁+· · · Ⅹₙᵣₙ ,并令

ᵣₙ

Var(Xₙⱼ)=σ²ₙⱼ,s²ₙ=∑ σ²ₙⱼ。

ⱼ₌₁

经典CLT的设定可以视作林德伯格CLT的特殊情况,这里

Xₙⱼ=Xⱼ,rₙ=n,s²ₙ=∑ σ²=nσ²。

ⱼ₌₁

另外,在林德伯格CLT的设定中,我们不失一般性地假设 𝔼[Xₙⱼ]=0∀n,∀j 。下面我们陈述林德伯格CLT的林德伯格条件(Lindeberg condition),它是标准化的和的渐近正态性(asymptotic normality)的充分条件(sufficient condition)。

定义 3.1 对于给定的 ϵ>0 ,林德伯格条件是

1 ᵣₙ 1

lim ─ ∑ 𝔼[X²ₙⱼ1|Xₙⱼ|≥ϵsₙ]=lim ─

sₙ2 ⱼ₌₁ n→∞ sₙ2

ᵣₙ

∑ ∫|Xₙⱼ|≥ϵsₙ X²ₙⱼ dℙ=0

ⱼ₌₁

根据林德伯格条件,我们可以推出

σ²ₙⱼ

lim max ──=0。

n→∞ 1≤j≤rₙ s²ₙ

因为

σ²ₙⱼ=∫|Xₙⱼ|<ϵsₙ X²ₙⱼ dℙ+∫|Xₙⱼ|≥ϵsₙ X²ₙⱼ dℙ ≤ ϵ² s²ₙ+∫|Xₙⱼ|≥ϵsₙ X²ₙⱼ dℙ

所以

σ²ₙⱼ 1

max ─ ≤ ϵ²+─ ∫|Xₙⱼ|≥ϵsₙ

1≤j≤rₙ s²ₙ s²ₙ

1 ᵣₙ

X²ₙⱼ dℙ ≤ ϵ²+─ ∑ ∫|Xₙⱼ|≥ϵsₙ X²ₙⱼ dℙ

s²ₙ ⱼ₌₁

因此,林德伯格条件的实质是,对于足够大的n ,任意 Xₙⱼ 的方差对于 s²ₙ 的贡献是任意小的。若要对应经典CLT的设定,我们可以将林德伯格条件写为

1

lim ─ ∫|X₁|≥ϵσ√n X²₁ dℙ=0

n→∞ σ²

此条件明显成立,原因是{|X₁|≥ϵσ√n} → ∅ 和控制收敛定理。 n→∞

定理 3.2(林德伯格CLT)若林德伯格条件对于任意 ϵ>0 都成立,那么

D

Sₙ/sₙ → Z

证明 由于可以将 Xₙⱼ 替换为 Xₙⱼ/sₙ ,我们将不失一般性地假设

ᵣₙ

s²ₙ=∑ σ²ₙⱼ=1. 由于

ⱼ₌₁

1

│eⁱᵗˣ – (1+itx – ─ t²x²)│

2

1

≤ min(─|t|³|x³|,t²x²)

6

固定 ϵ>0 ,则 Xₙⱼ 的特征函数 фₙⱼ 满足

1

│eⁱᵗˣ(t) – (1 – ─t²σ²ₙⱼ)│

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