数学联邦政治世界观
超小超大

中心极限定理(重点之一)二 (4-1)

3 林德伯格中心极限定理

林德伯格中心极限定理(Lindeberg's CLT)又叫作Lindeberg-Feller CLT,它弱化了经典CLT的i.i.d条件。在此定理中,我们考虑随机变量的三角数组(triangular array)Xₙ₁,· · ·,Xₙᵣₙ ,它们对于任意固定 n 都是独立的,且

rₙ → ∞ 。

n→∞

令 Sₙ=Xₙ₁+· · · Ⅹₙᵣₙ ,并令

ᵣₙ

Var(Xₙⱼ)=σ²ₙⱼ,s²ₙ=∑ σ²ₙⱼ。

ⱼ₌₁

经典CLT的设定可以视作林德伯格CLT的特殊情况,这里

Xₙⱼ=Xⱼ,rₙ=n,s²ₙ=∑ σ²=nσ²。

ⱼ₌₁

另外,在林德伯格CLT的设定中,我们不失一般性地假设 𝔼[Xₙⱼ]=0∀n,∀j 。下面我们陈述林德伯格CLT的林德伯格条件(Lindeberg condition),它是标准化的和的渐近正态性(asymptotic normality)的充分条件(sufficient condition)。

定义 3.1 对于给定的 ϵ>0 ,林德伯格条件是

1 ᵣₙ 1

lim ─ ∑ 𝔼[X²ₙⱼ1|Xₙⱼ|≥ϵsₙ]=lim ─

sₙ2 ⱼ₌₁ n→∞ sₙ2

ᵣₙ

∑ ∫|Xₙⱼ|≥ϵsₙ X²ₙⱼ dℙ=0

ⱼ₌₁

根据林德伯格条件,我们可以推出

σ²ₙⱼ

lim max ──=0。

n→∞ 1≤j≤rₙ s²ₙ

因为

σ²ₙⱼ=∫|Xₙⱼ|<ϵsₙ X²ₙⱼ dℙ+∫|Xₙⱼ|≥ϵsₙ X²ₙⱼ dℙ ≤ ϵ² s²ₙ+∫|Xₙⱼ|≥ϵsₙ X²ₙⱼ dℙ

所以

σ²ₙⱼ 1

max ─ ≤ ϵ²+─ ∫|Xₙⱼ|≥ϵsₙ

1≤j≤rₙ s²ₙ s²ₙ

1 ᵣₙ

X²ₙⱼ dℙ ≤ ϵ²+─ ∑ ∫|Xₙⱼ|≥ϵsₙ X²ₙⱼ dℙ

s²ₙ ⱼ₌₁

因此,林德伯格条件的实质是,对于足够大的n ,任意 Xₙⱼ 的方差对于 s²ₙ 的贡献是任意小的。若要对应经典CLT的设定,我们可以将林德伯格条件写为

1

lim ─ ∫|X₁|≥ϵσ√n X²₁ dℙ=0

n→∞ σ²

此条件明显成立,原因是{|X₁|≥ϵσ√n} → ∅ 和控制收敛定理。 n→∞

定理 3.2(林德伯格CLT)若林德伯格条件对于任意 ϵ>0 都成立,那么

D

Sₙ/sₙ → Z

证明 由于可以将 Xₙⱼ 替换为 Xₙⱼ/sₙ ,我们将不失一般性地假设

ᵣₙ

s²ₙ=∑ σ²ₙⱼ=1. 由于

ⱼ₌₁

1

│eⁱᵗˣ – (1+itx – ─ t²x²)│

2

1

≤ min(─|t|³|x³|,t²x²)

6

固定 ϵ>0 ,则 Xₙⱼ 的特征函数 фₙⱼ 满足

1

│eⁱᵗˣ(t) – (1 – ─t²σ²ₙⱼ)│

数学联邦政治世界观提示您:看后求收藏(同人小说网http://tongren.me),接着再看更方便。

相关小说

历喵:历史魂穿 连载中
历喵:历史魂穿
华夏仍在
明末清初各位豪杰魂穿现代
0.6万字9个月前
蝶翊夜舞 连载中
蝶翊夜舞
夜云暖星
凤蝶舞,一个传奇的女子,这个名字曾让四界敬仰,震撼,胆怯,修为更是逆天,世人皆言:身为人界之主弟子的她,让人界苍生敬仰的她,为人界立下无数战......
14.4万字9个月前
守护之罪 连载中
守护之罪
尹莲桃
安薇薇出了意外一朝穿越,来到了一个气运之子的气运容易爆棚的仙侠世界,这里很熟悉,因为这里是自己写的小说世界!安薇薇穿越到反派师尊上,竟然发现......
11.5万字9个月前
正义小队与汪汪队 连载中
正义小队与汪汪队
魔方李
魔方李与汪汪队培育正义,让正义维护世界。处理外界问题之前,先要处理内部问题
21.3万字9个月前
叶岚与魔幻陀螺 连载中
叶岚与魔幻陀螺
岚娜诺海悦灵星
不知道,喜欢叶岚玄海的看一看
0.9万字9个月前
我在虫族做团宠 连载中
我在虫族做团宠
白术草乌
1.3万字9个月前