中心极限定理（重点之一）二 (4-4)

ₖ

注意 sₙ＝σ√n .

1 ₙ

由于 ─── ∑ 𝔼[|Xⱼ|2＋δ]

sₙ2＋δ ⱼ₌₁

C

≤ ────，

σ2＋δnδ/2

李雅普诺夫条件成立.

推论 4.4 令 Xⱼ 为均值为 0 且一致有界（uniformly bounded）的独立随机变量. 若

∞

∑ Var(Xⱼ)＝∞，则

ⱼ₌₁

Sₙ D

──── → Z

√Var(Sₙ)

证明 假设存在 C＜∞ 使得 |Xⱼ| ≤ C∀j . 令 δ＝1 ，由于

1 ₙ s²ₙ C

─ ∑ 𝔼[|Xⱼ|³] ≤ C ─＝─────

s³ₙ ⱼ₌₁ s³ₙ √∑ⁿⱼ₌₁Var(Xⱼ)

，李雅普诺夫条件成立.

推论4.4非常有用，因为在实际应用中，我们常常会检查李雅普诺夫条件在δ＝1 时是否成立。

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