中心极限定理（重点之一）二 (4-3)

应用林德伯格CLT的一个经典例子是Goncharov定理。令Ωₙ 为 1，. . .，n 的 n！ 个置换（permutation）。对于循环表示（cyclic representation） ω ∈ Ωₙ ，若第 j 个元素完成一个循环，则令 Xₙⱼ(ω)＝1 ，否则令 Xₙⱼ(ω)＝0 。

ₙ

这样 Sₙ＝∑Xₙⱼ就是循环的数量。

ⱼ₌₁

这里 Xₙⱼ 是独立的。我们可以用归纳法和条件概率得出

1

ℙ(Xₙⱼ＝1)＝───

n – j＋1

这样我们就可以通过计算得到，Sₙ 的均值为

ₙ 1 ₙ 1

Lₙ＝∑ ────＝∑ ─，

ⱼ₌₁ n – j＋1 ⱼ₌₁ j

方差为 L²ₙ＋O(1) 。这里的林德伯格条件

1 ₙ

lim ──── ∑ ∫|Xₙⱼ|≥ϵ√Lₙ＋O(1) ↓

n→∞ Lₙ＋O(1) ⱼ₌₁

X²ₙⱼ dℙ＝0 ←

显然被满足，因为|Xₙⱼ| 以 1 为界。根据应用林德伯格CLT，

D

(Sₙ – Lₙ)/sₙ → N(0，1)。

又因为 Lₙ＝log n＋O(1) ，我们有

D

(Sₙ – log n)/√log n → N(0，1)

4 李雅普诺夫中心极限定理

李雅普诺夫中心极限定理（Lyapunov's CLT）是林德伯格中心极限定理的强化版本，可以视作林德伯格中心极限定理的推论。换句话说，此定理的李雅普诺夫条件是林德伯格条件的充分条件。

定义 4.1 对于给定的 δ＞0 ，李雅普诺夫条件是

1 ᵣₙ

lim ─── ∑ 𝔼[│Xₙⱼ│2＋δ] ↓

n→∞ sₙ2＋δ ⱼ₌₁

1 ᵣₙ

lim ─── ∑ ∫│Xₙⱼ│2＋δ dℙ＝0

n→∞ sₙ2＋δ ⱼ₌₁

李雅普诺夫条件中取极限的表达式可以给出林德伯格条件中取极限的表达式的上界，故我们得到李雅普诺夫CLT。

定理 4.2（李雅普诺夫CLT）若存在 δ＞0 ，使得李雅普诺夫条件成立，那么

D

Sₙ/sₙ → Z

证明 由于

1 ᵣₙ

─ ∑ ∫|Xₙⱼ|≥ϵsₙ Ⅹ²ₙⱼ

s²ₙ ⱼ₌₁

1 ᵣₙ

dℙ ≤ ─── ∑ ∫|Xₙⱼ|≥ϵsₙ|Xₙⱼ|2＋δ dℙ

ϵδsₙ2＋δ ⱼ₌₁

1 ᵣₙ

≤ ϵ⁻δ ─── ∑ ∫|Xₙⱼ|2＋δ dℙ

sₙ2＋δ ⱼ₌₁

李雅普诺夫条件可以推出林德伯格条件，故

D

Sₙ/sₙ → Z.

李雅普诺夫CLT有下面两个推论。

推论 4.3 令 Xⱼ 为均值为 0 ，方差为 σ² 的独立随机变量. 若存在 δ＞0 ，使得

sup𝔼[|Xₖ|2＋δ]＜∞ ，则

ₖ

Sₙ D

── → Z

σ√n

证明 令 C＝sup𝔼[|Xₖ|2＋δ]＜∞ .

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