中心极限定理（重点之一）二 (4-2)

2

≤ 𝔼[min(│tXₙⱼ|³，(tXₙⱼ)²)]

≤ ∫|Xₙⱼ|＜ϵ|tXₙⱼ|³ dℙ＋∫|Xₙⱼ|≥ϵ(tXₙⱼ)² dℙ≤ϵ|t|³σ²ₙⱼ＋t² ∫|Xₙⱼ|≥ϵ X²ₙⱼ dℙ

由于

ₙ

|z₁ · · · zₙ – ω₁ · · · ωₙ| ≤ ∑ |zⱼ – ωⱼ|，

ⱼ₌₁

ᵣₙ 1

│фsₙ(t) – ∏ (1 – ─t²σ²ₙⱼ)│

ⱼ₌₁ 2

ᵣₙ ᵣₙ

≤ϵ|t|³∑ σ²ₙⱼ＋t²∑ ∫|Xₙⱼ|≥ϵ X²ₙⱼ dℙ

ⱼ₌₁ j₌₁

先令 ϵ → 0 ，再令 n → ∞ ，根据林德伯格条件，我们得到

ᵣₙ 1

lim│фsₙ(t) – ∏ (1 – ─t²σ²ₙⱼ)│＝0

n→∞ ⱼ₌₁ 2

由于

ᵣₙ

e⁻ᵗ²/²＝e⁻ᵗ²∑ʳⁿⱼ₌₁ σ²ₙⱼ/²＝∏ e⁻ᵗ²σ²ₙⱼ/²，

ⱼ₌₁

我们还需证明

ᵣₙ ᵣₙ 1

lim │∏e⁻ᵗ²σ²ₙⱼ/² – ∏ (1 – ─ ᵗ²σ²ₙⱼ)│＝0.

n→∞ ⱼ₌₁ ⱼ₌₁ 2

我们通过计算得到

ᵣₙ ᵣₙ 1

│∏e⁻ᵗ²σ²ₙⱼ/² – ∏ (1 – ─ ᵗ²σ²ₙⱼ)│

ⱼ₌₁ ⱼ₌₁ 2

ᵣₙ 1

≤ ∑│e⁻ᵗ²σ²ₙⱼ/² – (1 – ─ ᵗ²σ²ₙⱼ)│

ⱼ₌₁ 2

ᵣₙ t⁴σ⁴ₙⱼ ᵣₙ

≤ ∑ (── eᵗ⁴σ⁴ₙⱼ/⁴ ) ≤ t⁴eᵗ⁴∑σ⁴ₙⱼ

ⱼ₌₁ 4 ⱼ₌₁

第一个不等式是因为

ₙ

|z₁ · · · zₙ – ω₁ · · · ωₙ| ≤ ∑ |zⱼ – ωⱼ|，

ⱼ₌₁

第二个不等式是因为

∞ |z|ʲ⁻²

|eᶻ – 1 – z| ≤ |z²|∑ ───

ⱼ₌₁ j！

≤ |z|²e|ᶻ|∀ z ∈ ℂ .

由于 lim max σ²ₙⱼ＝0 ，且

n→∞ 1≤j≤rₙ

ᵣₙ

∑ σ²ₙⱼ＝1，

ⱼ₌₁

ᵣₙ

我们有 ∑ σ⁴ₙⱼ → 0 .

ⱼ₌₁ n→∞

D

因此фsₙ(t) → фᴢ(t) ，故 Sₙ → Z .

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