中心极限定理（重点之一）二 (4-1)

3 林德伯格中心极限定理

林德伯格中心极限定理（Lindeberg's CLT）又叫作Lindeberg-Feller CLT，它弱化了经典CLT的i.i.d条件。在此定理中，我们考虑随机变量的三角数组（triangular array）Xₙ₁，· · ·，Xₙᵣₙ ，它们对于任意固定 n 都是独立的，且

rₙ → ∞ 。

n→∞

令 Sₙ＝Xₙ₁＋· · · Ⅹₙᵣₙ ，并令

ᵣₙ

Var(Xₙⱼ)＝σ²ₙⱼ，s²ₙ＝∑ σ²ₙⱼ。

ⱼ₌₁

经典CLT的设定可以视作林德伯格CLT的特殊情况，这里

ₙ

Xₙⱼ＝Xⱼ，rₙ＝n，s²ₙ＝∑ σ²＝nσ²。

ⱼ₌₁

另外，在林德伯格CLT的设定中，我们不失一般性地假设 𝔼[Xₙⱼ]＝0∀n，∀j 。下面我们陈述林德伯格CLT的林德伯格条件（Lindeberg condition），它是标准化的和的渐近正态性（asymptotic normality）的充分条件（sufficient condition）。

定义 3.1 对于给定的 ϵ＞0 ，林德伯格条件是

1 ᵣₙ 1

lim ─ ∑ 𝔼[X²ₙⱼ1|Xₙⱼ|≥ϵsₙ]＝lim ─

sₙ2 ⱼ₌₁ n→∞ sₙ2

ᵣₙ

∑ ∫|Xₙⱼ|≥ϵsₙ X²ₙⱼ dℙ＝0

ⱼ₌₁

根据林德伯格条件，我们可以推出

σ²ₙⱼ

lim max ──＝0。

n→∞ 1≤j≤rₙ s²ₙ

因为

σ²ₙⱼ＝∫|Xₙⱼ|＜ϵsₙ X²ₙⱼ dℙ＋∫|Xₙⱼ|≥ϵsₙ X²ₙⱼ dℙ ≤ ϵ² s²ₙ＋∫|Xₙⱼ|≥ϵsₙ X²ₙⱼ dℙ

所以

σ²ₙⱼ 1

max ─ ≤ ϵ²＋─ ∫|Xₙⱼ|≥ϵsₙ

1≤j≤rₙ s²ₙ s²ₙ

1 ᵣₙ

X²ₙⱼ dℙ ≤ ϵ²＋─ ∑ ∫|Xₙⱼ|≥ϵsₙ X²ₙⱼ dℙ

s²ₙ ⱼ₌₁

因此，林德伯格条件的实质是，对于足够大的n ，任意 Xₙⱼ 的方差对于 s²ₙ 的贡献是任意小的。若要对应经典CLT的设定，我们可以将林德伯格条件写为

1

lim ─ ∫|X₁|≥ϵσ√n X²₁ dℙ＝0

n→∞ σ²

此条件明显成立，原因是{|X₁|≥ϵσ√n} → ∅ 和控制收敛定理。 n→∞

定理 3.2（林德伯格CLT）若林德伯格条件对于任意 ϵ＞0 都成立，那么

D

Sₙ/sₙ → Z

证明 由于可以将 Xₙⱼ 替换为 Xₙⱼ/sₙ ，我们将不失一般性地假设

ᵣₙ

s²ₙ＝∑ σ²ₙⱼ＝1. 由于

ⱼ₌₁

1

│eⁱᵗˣ – (1＋itx – ─ t²x²)│

2

1

≤ min(─|t|³|x³|，t²x²)

6

固定 ϵ＞0 ，则 Xₙⱼ 的特征函数 фₙⱼ 满足

1

│eⁱᵗˣ(t) – (1 – ─t²σ²ₙⱼ)│

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