中心极限定理（重点之一）一 (4-4)

dz – ── ∫ᴬ⁻ⁱᵗᴀ e⁻ᶻ²/²

√2π

1

dz – ─── ∫⁻ᴬ₋ᴀ₋ᵢₜ e⁻ᶻ²/² dz .

√2π

令 A → ∞ ，我们得到

1

l – lim Jᴀ＝l – 1＝lim – (── ∫ᴬ⁻ⁱᵗᴀ e⁻ᶻ²/²

A→∞ A→∞ √2π

1

dz＋── ∫⁻ᴬᴀ ᵢₜ e⁻ᶻ²/² dz)＝0.

√2π

步骤 2 对于模（modulus）至多为 1 的复数 z₁，· · ·，zₙ 和 ω₁，· · ·，ωₙ ，我们有

ₙ

|z₁ · · · zₙ – ω₁ · · · ωₙ|＝│∑ z₁ · · · zⱼ₋₁(zⱼ – ωⱼ)

ⱼ₌₁

ₙ

ωⱼ₊₁ · · · ωₘ│≤ ∑│zⱼ – ωⱼ│

ⱼ₌₁

步骤 3 不失一般性地假设 μ＝0，σ＝1 . 对于独立的

ₙ

Xᵢ ， 𝔼[eⁱᵗ∑ⁿⱼ₌₁Xⱼ]＝∏ 𝔼[eⁱᵗXⱼ] .

ⱼ₌₁

由于 Xᵢ 是独立的， фsₙ/√n＝фx₁(t/√n)ⁿ . 固定 t ∈ ℝ ，并选取足够大的 n ，使得

t²

1 – ─＞1.

2n

t²

令 zⱼ＝фx₁(t/√n) ，并令 ωⱼ＝1 – ─ .

2n

1

根据步骤2，以及 │eⁱˣ – (1＋ix – – ─ x²)│

2

1

≤ min (─│x³│，x²)

6

，我们得到

t²

│фsₙ/√n – (1 – ─)ⁿ│≤ n│фx₁(t/√n)

2n

t² |t|³|X₁|³

– (1 – ─)│≤ 𝔼 [min (───，t²|X₁|²)]

2n √n

|t|³|X₁|³

由于 lim min (───，t²|X₁|²)＝0，

n→∞ √n

根据控制收敛定理，

|t|³|X₁|³

lim 𝔼 [min(───，t²|X₁|²)]＝0 .

n→∞ √n

t²

那么 lim фsₙ/√n＝lim(1 – ─)ⁿ＝e⁻ᵗ²/²＝фᴢ(t)

2n

D

，所以根据连续性定理，Sₙ/√n → Z .

应用经典CLT，我们可以得到一些常见结论。对于二项分布变量Xₙ ∼ Bin(n，p)，根据经典CLT，我们有

Xₙ – np D

───── → Z ⇔ ℙ(Xₙ ≤ x) → ℙ

√np(1 – p) n→∞

x – np

(Z ≤ ─────)

√np(1 – p)

当样本量n 足够大时，我们可以用正态分布 N(np，np(1 – p)) 来近似 Xₙ 。对于泊松分布（Poisson distribution） Xλ ∼ Poisson(λ) ，根据经典CLT，当 λ → ∞ ，我们有

Xλ – λ D

──── → Z

√λ

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