中心极限定理（重点之一）一 (4-3)

u|Xₙ|

1

(1 – ─) dℙ＝ℙ(|Xₙ|≥2/u)

2

由于 ф(0)＝1 ，且 ф 在 0 处连续，对于足够小的 u 和任意 ϵ＞0 ，

1

─ ∫ᵘ₋ᵤ(1 – ф(t)) dt＜ϵ .

u

由于 фₙ(t) → ф(t) ，根据勒贝格控制收敛定理（Lebesgue's dominated convergence theorem），存在 N 使得

1

─ ∫ᵘ₋ᵤ(1 – фₙ(t)) dt＜2ϵ∀n＞N，

u

因此 ℙ(|Xₙ|≥2/u)＜2ϵ∀n＞N . 在必要情况下减小 u ，我们可以确保 ℙ(|Xₙ|≥2/u)＜2ϵ∀n ，因此 ℙ(Xₙ ∈ [–2/u，2/u])＞1 – 2ϵ∀n ，即 {Fₙ} 是紧的（tight）. 根据Prokhorov定理，存在子序列 nₖ 和CDF G 使得 Fₙₖ ⇒ G . 根据此定理的前半部分，我们有 фₙₖ(t) → фɢ(t)，这里 фɢ 是对应CDF G 的特征函数. 根据特征函数的唯一性， F＝G ，即 Fₙₖ ⇒ F . 又因为 Fₙ 是紧的，根据黑利选择定理（Helly's selection theorem）的推论我们得到 Fₙ ⇒ F .

到这里我们就完成了对背景知识的介绍。

2 经典中心极限定理

最早版本的CLT又叫作Lindeberg-Levy CLT，它对应的是i.i.d的情况。这里随机变量序列{Xₙ} 中的各项不仅是独立的，还有相同的CDF，这是一个非常严格的条件。令 Sₙ＝X₁＋· · ·＋Xₙ 。经典CLT说，标准化的 Sₙ 会依分布收敛于标准正态分布。

定理 2.1（经典CLT）令 {Xₙ} 为均值为 μ ，方差为 σ²＜∞ 的i.i.d随机变量序列，并令 Sₙ＝X₁＋· · ·＋Xₙ . 那么，

Sₙ – nμ D

──── → Z

σ√n

这里 Z ∼ N(0，1) .

证明 步骤 1 我们首先证明， Z 的特征函数是 фᴢ(t)＝e⁻ᵗ²/² .

1

由于 Z 的PDF是 ── e⁻ˣ²/²，那么

√2π

1

𝔼[eⁱᵗᶻ ]＝── ∫∞₋∞ e⁻ⁱᵗˣ⁻ˣ²/²

√2π

1

dx＝e⁻ᵗ²/² ── ∫∞₋∞ e⁻⁽ˣ⁻ⁱᵗ⁾²/² dx .

√2π

我们想要证明

1

l＝── ∫∞₋∞ e⁻⁽ˣ⁻ⁱᵗ⁾²/² dx＝1

√2π

1

lᴀ＝── ∫ᴬ₋ᴀ e⁻⁽ˣ⁻ⁱᵗ⁾²/²

√2π

1

dx＝── ∫ᴬ⁻ⁱᵗ₋ᴀ₋ᵢₜ e⁻ʸ²/²

√2π

1

dy＝── ∫ᴬ⁻ⁱᵗ₋ᴀ₋ᵢₜ e⁻ᶻ²/²

√2π

1

dz – ── ∫ᴬ₋ᴀ e⁻ᶻ²/² dz＋Jᴀ

√2π

1

，这里 Jᴀ＝── ∫ᴬ₋ᴀ e⁻ʸ²/² dy.

√2π

由于 e⁻ᶻ²/² 是一个解析（analytic）函数，对于任意闭（closed）曲线 C， ∫ᴄ e⁻ᶻ²/²＝0 . 令闭曲线 C₀ 为 –A → A → A – it → –A – it → –A ，那么

1

lᴀ – Jᴀ＝── ∫c₀ e⁻ᶻ²/²

√2π

1

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