中心极限定理（重点之一）一 (4-2)

ℙ(X ≤ x – ϵ)＝ℙ(Xₙ ≤ x)＋ℙ(|Xₙ – X|＞ϵ)

令 n→∞ ，由于 lim ℙ(|Xₙ – X|＞ϵ)＝0，我们得到

F(x – ϵ) ≤ lim inf Fₙ(x) ≤ lim sup Fₙ(x) ≤ F(x)

令 ϵ → 0 ，得到

F(xˉ) ≤ lim inf Fₙ(x) ≤ lim sup Fₙ(x) ≤ F(x)

由于 x 是连续点， F(xˉ)＝F(x)＝lim Fₙ(x) .

接下来我们介绍特征函数（characteristic function）的概念。

定义 1.4 一个实值（real-valued）随机变量 X 的特征函数是 ф(t)＝𝔼 [eⁱᵗˣ] .

特征函数和CDF的关系由逆公式（inversion formula）

1

F(b) – F(α)＝lim ─ ∫ᵀ₋ᴛ ↓

T→∞ 2π

e⁻ⁱαᵗ – e⁻ⁱᵇᵗ

────── ф(t) dt

it

给出，这里α，b 是 F 的连续点，且一个随机变量的的特征函数可以唯一地决定其分布。特征函数和概率密度分布（probability density function/PDF）的关系由

1

f(x)＝─ ∫∞₋∞ e⁻ⁱᵗˣф(t) dt

2π

给出。特征函数有一个重要特性：对于独立的随机变量X 和 Y ， фx＋ʏ(t)＝фx(t)фʏ(t) 。现在我们要证明连续性定理（continuity theorem），它指出特征函数的另一个重要特性：依分布收敛和特征函数的收敛是等价的。

定理 1.5（连续性定理）令随机变量 Xₙ 和 X 的CDF Fₙ 和 F 为对应它们的特征函数 фₙ 和 ф . 那么，当且仅当 фₙ(t) → ф(t)∀t ，

D

Xₙ → X .

D

证明 首先假设 Xₙ → X ，我们要证明 фₙ(t) → ф(t)∀t .

D

根据Portmanteau定理，Xₙ → X 可以推出，对于任意有界连续（bounded continuous）函数 f ，我们有 𝔼[f(Xₙ)] → 𝔼[f(X)] . 将此结论应用于函数 eⁱᵗˣ 的实部（real part）和虚部（imaginary part），我们有 фₙ(t) → ф(t) .

接下来假设 фₙ(t) → ф(t)∀t ，我们要证明 Fₙ ⇒ F .

根据富比尼定理（Fubini's theorem），对于 u＞0 ，

1 1

─ ∫ᵘ₋ᵤ(1 – фₙ(t)) dt＝─ ∫ᵘ₋ᵤ 𝔼[1 – eⁱᵗXₙ] ↓

u u

1 – eⁱᵗXₙ

dt＝𝔼 [∫ᵘ₋ᵤ ─── dt]

u

1 – cos tXₙ

＝𝔼[∫ᵘ₋ᵤ ─── dt]

u

sin uXₙ

＝2𝔼[1 – ─── ] ≥ 2 ∫Ω1{|Xₙ|≥2/u}

uXₙ

sin uXₙ

(1 – ─── ) dℙ

uXₙ

≥2 ∫Ω1{|Xₙ|≥2/u}

1

(1– ───) dℙ ≥ 2 ∫Ω1{|Xₙ|≥2/u}

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。