数学联邦政治世界观
超小超大

中心极限定理(重点之一)一 (4-2)

ℙ(X ≤ x – ϵ)=ℙ(Xₙ ≤ x)+ℙ(|Xₙ – X|>ϵ)

令 n→∞ ,由于 lim ℙ(|Xₙ – X|>ϵ)=0,我们得到

F(x – ϵ) ≤ lim inf Fₙ(x) ≤ lim sup Fₙ(x) ≤ F(x)

令 ϵ → 0 ,得到

F(xˉ) ≤ lim inf Fₙ(x) ≤ lim sup Fₙ(x) ≤ F(x)

由于 x 是连续点, F(xˉ)=F(x)=lim Fₙ(x) .

接下来我们介绍特征函数(characteristic function)的概念。

定义 1.4 一个实值(real-valued)随机变量 X 的特征函数是 ф(t)=𝔼 [eⁱᵗˣ] .

特征函数和CDF的关系由逆公式(inversion formula)

1

F(b) – F(α)=lim ─ ∫ᵀ₋ᴛ ↓

T→∞ 2π

e⁻ⁱαᵗ – e⁻ⁱᵇᵗ

────── ф(t) dt

it

给出,这里α,b 是 F 的连续点,且一个随机变量的的特征函数可以唯一地决定其分布。特征函数和概率密度分布(probability density function/PDF)的关系由

1

f(x)=─ ∫∞₋∞ e⁻ⁱᵗˣф(t) dt

给出。特征函数有一个重要特性:对于独立的随机变量X 和 Y , фx+ʏ(t)=фx(t)фʏ(t) 。现在我们要证明连续性定理(continuity theorem),它指出特征函数的另一个重要特性:依分布收敛和特征函数的收敛是等价的。

定理 1.5(连续性定理)令随机变量 Xₙ 和 X 的CDF Fₙ 和 F 为对应它们的特征函数 фₙ 和 ф . 那么,当且仅当 фₙ(t) → ф(t)∀t ,

D

Xₙ → X .

D

证明 首先假设 Xₙ → X ,我们要证明 фₙ(t) → ф(t)∀t .

D

根据Portmanteau定理,Xₙ → X 可以推出,对于任意有界连续(bounded continuous)函数 f ,我们有 𝔼[f(Xₙ)] → 𝔼[f(X)] . 将此结论应用于函数 eⁱᵗˣ 的实部(real part)和虚部(imaginary part),我们有 фₙ(t) → ф(t) .

接下来假设 фₙ(t) → ф(t)∀t ,我们要证明 Fₙ ⇒ F .

根据富比尼定理(Fubini's theorem),对于 u>0 ,

1 1

─ ∫ᵘ₋ᵤ(1 – фₙ(t)) dt=─ ∫ᵘ₋ᵤ 𝔼[1 – eⁱᵗXₙ] ↓

u u

1 – eⁱᵗXₙ

dt=𝔼 [∫ᵘ₋ᵤ ─── dt]

u

1 – cos tXₙ

=𝔼[∫ᵘ₋ᵤ ─── dt]

u

sin uXₙ

=2𝔼[1 – ─── ] ≥ 2 ∫Ω1{|Xₙ|≥2/u}

uXₙ

sin uXₙ

(1 – ─── ) dℙ

uXₙ

≥2 ∫Ω1{|Xₙ|≥2/u}

1

(1– ───) dℙ ≥ 2 ∫Ω1{|Xₙ|≥2/u}

数学联邦政治世界观提示您:看后求收藏(同人小说网http://tongren.me),接着再看更方便。

相关小说

我从剧本来 连载中
我从剧本来
墨熙妍
如若给你一个机会,让你穿越各大时空,你愿意改变书中角色的命运吗?
1.5万字8个月前
穿越后拯救寻找前世之旅那些花季 连载中
穿越后拯救寻找前世之旅那些花季
饭楠
女主穿到寻找前世之旅里推动情节发展?使电视剧结尾不在重现看我的吧!系统出发!提示,女主会让叶隐留在每一个世界,不会留下任何遗憾。也是圆了本作......
3.6万字8个月前
我的楠朋友:王九龙 连载中
我的楠朋友:王九龙
你是我的宝物
总之……甜就对啦
6.3万字8个月前
和你一起闯末世 连载中
和你一起闯末世
华小甜yu
这是一场由梦展开的故事,女主不会轻易表达自己的情感,只有祁川懂她的难言之隐
6.5万字8个月前
创雷:你们不好好爱护,就让给我吧 连载中
创雷:你们不好好爱护,就让给我吧
丹黎
创雷,包括天使雷
0.9万字8个月前
重生之鬼女 连载中
重生之鬼女
黎少-雨桃
爱而不得,布下惊天大局,一个不甚,最终满盘皆输,为他人做嫁衣,成为他人爱情的考验。这世上最美的爱,无非两情相悦,早知结果,何不早点放手?陶思......
3.4万字8个月前