中心极限定理（重点之一）一 (4-1)

目录

1背景知识 ▹

2经典中心极限定理 ▹

3 林德伯格中心极限定理 ▹

4李雅普诺夫中心极限定理 ▹

5多维中心极限定理 ▹

参考文献 ▹

中心极限定理（central limit theorem/CLT）是概率论（probability theory）一个非常重要的结论，它指出在一定条件下，独立（independent）随机变量的标准化的（normalized）和随样本量（sample size）变大会趋向正态分布（normal distribution），即它的累积分布函数（cumulative distribution function/CDF）会收敛于标准正态分布（standard normal distribution）的CDF

1

N(x)＝∫ˣ₋∞ ── e⁻ˣ²/² dx。

√2π

中心极限定理不要求随机变量本身是正态分布的，所以它带来一个非常重要的结果：在一定条件下，我们可以使用对正态分布成立的方法去应对非正态分布。比如，对于样本量 n 足够大时，二项分布（binomial distribution） Bin(n，p) 可以用正态分布 N(np，np(1 – p)) 来近似。用具体事例来表达，如果我们抛 500 次硬币，由于每次抛硬币正面朝上的概率为

1

─ ，

2

我们可以将正面朝上的数量近似地视作一个 N(250，125) 的随机变量。中心极限定理有很多种版本，也有对于非独立变量的变式。在本篇文章中，我们将要介绍对于独立变量的中心极限定理的三个版本。在此之前，我们需要先引入相关概念。

1 背景知识

首先，我们要引入依分布收敛（convergence in distribution）和依概率收敛（convergence in probability）的概念。令(Ω，F，ℙ) 为一个概率空间（probability space）。随机变量 X 的CDF被定义为 F(x)＝ℙ(X ≤ x) 。

定义 1.1 对于随机变量序列 X₁，X₂，. . . 和任意 ϵ＞0 ，若

lim ℙ(|Xₙ – X|＞ϵ)＝0

n→∞

其中 X 是一个随机变量，则称 Xₙ 依概率收敛于 X ，写作

P

Xₙ → Ⅹ .

定义 1.2 对于CDF为 Fₙ 的随机变量序列 X₁，X₂，. . . ，若对于任意 F 的连续点（point of continuity） x ，

lim Fₙ(x)＝F(x)

n→∞

其中 X 是CDF为 F 的随机变量，则称 Xₙ 依分布收敛于 X ，

D

写作 Xₙ → X ，也称 Fₙ 弱收敛（converge weakly）于 F ，写作 Fₙ ⇒ F .

依概率收敛是比依分布收敛更强的条件，即若Xₙ 依概率收敛于 X ，则 Xₙ 依分布收敛于 X 。

命题 1.3 令 Xₙ 和 X 为同一个概率空间中的随机变量.

P D

若 Xₙ → X ，则 Xₙ → X .

证明 令 x 为 F 的一个连续点. 由于

ℙ(Xₙ ≤ x)＝ℙ(Xₙ ≤ x，|Ⅹₙ – X| ≤ ϵ)＋ℙ(Xₙ ≤ x，|Ⅹₙ – X|＞ϵ)

我们有

ℙ(Xₙ ≤ x)＝ℙ(X ≤ x＋ϵ)＋ℙ(|Xₙ – X|＞ϵ)

以及

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